Matrice symétrique

[bnjirie]

Bonjour, n'étant pas rompu au latex, je vous met ce petit lien:
http://clubmaths.free.fr/deug2/MA21A_Algebre_et_analyse_Juin_2001.pdf
.
Dans l'exercice 2, première question: A est matrice symétrique donc diagonalisable dans une base de vecteurs propres orthonormée,c'est direct. Mais pour (A-iI) inversible, je dois dire que je bloque(un peu navrant vu le chiffre 1 devant la question...)

Un petit coup de pouce serait plus que bienvenu, et merci beaucoup d'avance.

[kazeriahm]

salut

A est symétrique, réelle, donc diagonalisable, OK.

Dans la "base de diagonalisation" de A, A-i*I est également diagonale. Comment conclure ?

Que peux tu dire des valeurs propres de A ?

[bnjirie]

On a des valeurs propres réelles( pour la matrice A- iI) mais rien ne nous dit quelles sont toutes non-nulles, et on peut toujours avoir un déterminant nul, non?
Merci de ton aide

[kazeriahm]

quelles sont les valeurs propres de A-i*I en fonction de celle de A ?

[kazeriahm]

j'avais pas lu en détail mais non les valeus propres de A-i*I ne sont pas réelles (donc en particulier non nulles justement). Pourquoi ?

[bnjirie]

Je croyais qu'une matrice symétrique dans R ou dans C n'acceptait que des valeurs propres réelle, non?

[bnjirie]

Donc les valeurs propres seraient complexes, et on obtiendrait un déterminant différent de 0. Ce serait ça le raisonnement?

[kazeriahm]

beh non par exemple i*I est symètrique mais sa seule vp est i

dans C la condition "symètrique" est généralisée par "hermitienne", a savoir qu'il faut regarder ce qui se passe quand on transpose et qu'on conjugue à la fois. Tout ca vient de la définition du (des) produits scalaires sur les espaces complexes

[bnjirie]

Je t'avouerais que je suis encore un peu perdu.

[YLS]

Bonjour,

Il suffit de citer précisément le cours : "Toute matrice symétrique réelle A est diagonalisable, A admet alors au moins une valeur propre réelle, et toutes ses valeurs propres sont réelles".

On a de plus l"équivalence suivante :
" est inversible" " n'est pas valeur propre de ", étant un nombre complexe il n'est effectivement pas valeur propre de , d'où la conclusion (sans usage du déterminant, de base de diagonalisation, etc...).