Matrice symétrique

[kaito974]

Bonjour à tous, je souhaiterais savoir quel serait l'ensemble des matrices A de Mn(R), symétriques vérifiant :

2A^6+A^4=0

La reponse serait : l'ensemble serait toutes les Matrices symétriques dont les valeures propres vérifients cette équation (pour tout i avec ai valeur prpres de A on aurait : 2ai^6+ai^4=0 )non ?

[klevia]

Salut, en factorisant par A^4, tu obtiens A^4(2A²+ID)=0
or si A symétrique alor A est diagonalisable donc en supposant A different de 0, on obtiens 2A²+id=0
soit A²=-0.5id
ce qui dans R semble difficille ...
Maintenant si tes coefficients sont dans C, alors dans une bonne base A est diagonalisable et ...

[ffpower]

une matrice symetrique non nulle n est pas forcement inversible(faut qu aucune valeur propre soit nulle).Mais sinon,c est quand meme ca l idee.une matrice symetrique reele est diagonalisable dans R.Si a est une valeur propre de A,on a: a^4(2a²+1)=0,et comme 2a²+1>0,on obtient a=0.Toutes les vp de A sont nulles,donc A=0

[klevia]

Exact, je m'excuse des diverses imprécisions que j'ai pu écrire ...

[abcd22]

une matrice symetrique non nulle n est pas forcement diagonalisable(faut qu aucune valeur propre soit nulle).

? Qu'est-ce que tu veux dire par là ? Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable à valeurs propres réelles, même si elle n'est pas inversible.

[ffpower]

:marteau: Sorry..je voulais dire "inversible",j edite

[kaito974]

la reponse est donc la matrice nulle ??

[ThSQ]

en supposant A different de 0, on obtiens 2A²+id=0

Oulà on peut pas diviser/simplifier ainsi par une matrice (même non nulle) comme ça !

[yos]

Si on peut : tu remplaces A par D, puis par les vp réelles. Faudrait qu'il détaille un peu.

[ThSQ]

Si on peut : tu remplaces A par D, puis par les vp réelles. Faudrait qu'il détaille un peu.

Comprends pas. D peut avoir un vp nulle et des vp non nulles (il se trouve que non ici mais bon)

[yos]

Si P(A)=0, toute vp de A est racine de P, or ici A n'a que des vp réelles et la seule racine réelle de P est 0. De plus A est diagonalisable, donc A=0.