Matrice symétrique

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 15:17

Bonjour,

Je démontre que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base de vecteurs propres :

Soit A une matrice symétrique : son polynôme caractéristique P est scindé sur C : on montre alors que ses racines sont réelles ; comment déduit-on que A est diagoalisable ?
Merci bcp !

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 15:26

bonjour

c est l enchainement des questions d un sujet ou ce que tu as eu l idée seul de faire ?

il y a plusieurs méthodes en général on est guidé un énoncé complet serait le bienvenu

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 15:34

Je suis en prépa CAPES et je regardais cette démo...

Ce qui me gène : comment est-on sûr d'avoir : dimEi=multiplicité(li) où li sont les valeurs propres...

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 15:38

donne la démo alors que je puisse la lire sinon ...

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 15:53

jeje56 a écrit:Bonjour,

Je démontre que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base de vecteurs propres :

Soit A une matrice symétrique : son polynôme caractéristique P est scindé sur C : on montre alors que ses racines sont réelles ; comment déduit-on que A est diagoalisable ?
Merci bcp !

une fois qu'on a trouvé un vecteur propre x, que peut-on dire de l'orthogonal

? Termine par récurrence.

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 15:55

On prends A symétrique réelle : soit P son polynôme caractéristique ;
P est scindé dans C : ses racines sont les valeurs propres ;
On montre que toute valeur propre est réelle : on déduit que A est diagonalisable...

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 16:01

Nightmare a écrit:une fois qu'on a trouvé un vecteur propre x, que peut-on dire de l'orthogonal ? Termine par récurrence.

J'avoue que j'ai du mal à voir...

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:05

ben oui c est une preuve

on n y parle pas du tout de multiplicité

c'est ce qu'a dit nightmare modulo le fait qu 'il vaut mieux travailler avec les endomorphismes
A réelle de taille n symétrique
1 dans C il y a une vp ( c est fait je pense)
2 cette vp est réelle (fait)

en considérant A la matrice d 'un endo symétrique u d un R ev de dim n ,on démontre par récurrence sur n que u est diagonalisable en bon.
n = 1 rien à faire
on suppose pour n-1 le résultat , on prend x un vecteur propre (il y en a cf Q2)
la droite D engendrée par x est stable par u , u étant symétrique H l'orthogonal de D est stable par u,
on considère la restriction de u à H qui reste un endo symétrique en dim n-1 donc diagonalisable en bon d'après l'hypothèse de récurrence

d'où le résultat pour u

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 16:22

D'accord... Merci... J'ai une question sans doute très bête : pourquoi est-il nécessaire d'avoir A symétrique pour avoir = ? Pourtant = non ?

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:27

heu

de quel produit scalaire parles tu? dans C ? c'est le conjugué alors.
je présume que c'est àl'étape2 pour montrer que la vp est réelle

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 16:33

jeje56 a écrit:D'accord... Merci... J'ai une question sans doute très bête : pourquoi est-il nécessaire d'avoir A symétrique pour avoir = ? Pourtant = non ?

Le petit problème c'est qu'effectivement = est vrai pour tout x et toute A, MAIS, dire que A est symétrique signifie que = pour tout x et tout y...

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 16:37

Au point 2 oui, exact on est dans C... Autant pour moi ! Merci !

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 16:48

Ben314 a écrit:Le petit problème c'est qu'effectivement = est vrai pour tout x et toute A, MAIS, dire que A est symétrique signifie que = pour tout x et tout y...

Oui merci !

Donc, où utilise t-on que A est symétrique pour montrer que les valeurs propres sont réelles ?

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 16:58

Si tu veut l'écrire "en terme d'endomorphismes", comme au départ ta valeur propre et ton vecteur propre risquent d'être complexes, il faut que tu plonge to e.v. réel dans un e.v. complexe. Dans ce dernier, la produit scalaire s'étent en un produit hermitien que n'est plus linéaire par rapport à la deuxième variable mais antilinéaire : =lambda[barre] et il n'est plus symétrique : =[barre].
Si x est un vecteur propre associé à lambda, tu écrit :
lambda=== (car A est symétrique réelle)
==lambda[barre]
Tu en déduit que lambda=lambda[barre].

une autre façon de rédiger est de rester au niveau matriciel et d'utiliser le fait que la norme d'un vecteur colonne X de C^n est : "transposé de X barre fois X"
et tu calcule de deux manières différentes "transposé de X barre fois A fois X"

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 18:04

Ben314 a écrit:Si x est un vecteur propre associé à lambda, tu écrit :
lambda=== (car A est symétrique réelle)

Dans la dernière égalité, tu ne détailles pas que = en fait ?

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