Matrice symétrique : Application

par **sandrine_guillerme** » 28 Mai 2007, 23:11

Bonsoir tout le monde,

la matrice symétrique

avec :

si i = j

si i différent de j

J'aimerais montrer par réccurence sur n que

est définie positive,

J'ai essayé le critère de Herwitz, mais rien de très concluant,

à l'aide ?

Merci .. :we:

par **Joker62** » 28 Mai 2007, 23:50

Bonsoir Sandrine

Alors, on va utiliser le fait que :

est définie positive si et seulement si

où

est la sous-matrice d'ordre k.

Donc pour n = 2

Toutes les sous matrices d'ordre 1 et 2 ont bien un déterminant positifs, j'te laisse le vérifier.

Maintenant on suppose que c'est vrai pour le rang n-1
On prend la matrice A d'ordre n.

On sait que pour tout les k compris entre 1 et n-1, le déterminant de la sous-matrice est positif, c'est l'hypothèse de récurrence.

Reste à montrer que le déterminant de A_n est positif...

par **sandrine_guillerme** » 28 Mai 2007, 23:54

Bonsoir :)

(alors comme ça tu es en vaccances .. :'( ) pas moi )

plus sérieusement ..

j'ai pas la prop dans mon cours,

Elle est déf positif si le det est positif ?

Tu es sur ?

par **Joker62** » 28 Mai 2007, 23:56

Hello :)
Beuh moi oui vacance :D
Partiel terminée :)

Et donc, elle est définie positive si TOUTES LES SOUS MATRICES PRINCIPALES on un déterminant positif :)

par **sandrine_guillerme** » 28 Mai 2007, 23:59

ouh, oups, oui .. Merci ..

cf l'heure ..

dans le même esprit, j'ai quelques idées dans cet éxo mais bon, je ne suis pas sure ,

Soit

la plus grande valeur propre de la matrice

définie positive

Montrer que

J'ai montré que

est positif

par **Joker62** » 29 Mai 2007, 00:10

A symétrique
Donc diagonalisable

Soit

les valeurs propres qui sont à fortiori positives.

Donc, on a trouver une base dans laquelle la forme quadratique associé à A s'écrie

On pose

D'où

Marche pas comme ça ?

par **sandrine_guillerme** » 29 Mai 2007, 00:12

nan, faut

...

par **Joker62** » 29 Mai 2007, 00:19

Alors attend je reprend :

Dans une base de vecteur propre on a

on sait sait que les x_k ' sont des combi-li des vecteurs x_i

En remplaçant les x_k' par ces combinaisons, on peut se permettre de tout re-majorer par les x_i ² donc c'est fini.

on a t(X) M X <= ...
Enfin si tu vois pas dis, j'tape tout en latex

par **Joker62** » 29 Mai 2007, 00:24

J'crois que j'écris n'importe quoi... :D

par **sandrine_guillerme** » 29 Mai 2007, 00:30

LoL ..

Je crois que c'est un peu plus difficile que ça .. !

par **sandrine_guillerme** » 29 Mai 2007, 03:29

Joker62 a écrit:Et donc, elle est définie positive si TOUTES LES SOUS MATRICES PRINCIPALES on un déterminant positif

Je reviens à cette question, c'est même une condition nécéssaire et suffisante, et les matrices principales, ce sont les déterminant de Gram,
Je comprend mieux là ..

par **sandrine_guillerme** » 29 Mai 2007, 03:31

sandrine_guillerme a écrit:ouh, oups, oui .. Merci ..

cf l'heure ..

dans le même esprit, j'ai quelques idées dans cet éxo mais bon, je ne suis pas sure ,

Soit la plus grande valeur propre de la matrice définie positive

Montrer que

J'ai montré que est positif

Et là je vois le résultat intuitivement, mais je n'arrive pas à le montrer, si quelqu'un a une idée, je suis preuneuse .. !

P.S : On pourra remarquer que la signature de la forme quadratique est (n,0) .. ?

Bref rien de concluant quoi ..

par **aviateurpilot** » 30 Mai 2007, 13:24

sandrine_guillerme a écrit:Bonsoir tout le monde,

la matrice symétrique avec :

si i = j

si i différent de j

J'aimerais montrer par réccurence sur n que est définie positive,

J'ai essayé le critère de Herwitz, mais rien de très concluant,

à l'aide ?

Merci .. :we:

pour

on veux montrer quoi?
c'est quoi une sous matrice d'ordre k?
quand on dit que A définie positive?
et merci.

par **aviateurpilot** » 30 Mai 2007, 13:37

Rain' a écrit:Une sous matrice d'ordre k d'une matrice n*n c'est une matrice à laquelle tu as retiré n-k lignes et n-k colonnes, c'est donc une matrice k*k.

Une matrice définie positive se dit d'une matrice symétrique M pour laquelle pour tout X non nul on a tXMX > 0.

C'est équivalent à dire que le spectre (l'ensemble des valeurs propres) de M est inclus dans R+*.

MERCI BCP Rain

par **yos** » 30 Mai 2007, 13:49

Toujours pas règlé la première question?
On voit bien que

est vp d'ordre n-1.
L'autre doit être

.
Tout cela est >0.

par **aviateurpilot** » 30 Mai 2007, 13:51

soit

donc A est positif d'apres la definition que rain' m'a dit

par **sandrine_guillerme** » 31 Mai 2007, 11:08

Yes !

merci à vous !

J'ai eu une question bizarre à l'oral à propos des matrices symétriques ..

Je vais la chercher ce soir, chui pas chez moi là .. !

A+

par **tize** » 31 Mai 2007, 12:13

Bonjour,
j'espère ne pas me tromper mais :
BON ANNIVERSAIRE SANDRINE :++: :++: :++:

par **sandrine_guillerme** » 31 Mai 2007, 14:02

Pas du tout José, pas du tout comme tu l'as bien noté, d'ailleurs sue, ma chère sue avait ouvert un post à 7h du mat rien que pour m'en souhaiter un .. ça fait du bien ..

Donc je te remercie !

et puis t'as pas non plus oublié la couleur rouge .... !!!!!

Good

Merci :lol4:

Matrice symétrique : Application

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