Matrice et symétrie

[log86]

Bonjour je voudrais montrer que si a pour matrice dans une base orthonormée (,) M= avec alors est une symétrie vectorielle orthogonale.
J'ai une démonstration mais je ne la comprends pas . Pourriez vous m'aider s'il vous plait.
On commence par calculer le polynôme caractéristique de , on trouve et donc ses valeurs propres sont et .
Jusque là çà va même si je ne comprends pas pourquoi on fait çà ...
On dit juste après que les sous espaces propres associées sont les droites vectorielles orthogonales dirigées respectivement par = et =+.
Je ne comprends pas comment on obtient çà car pour la valeur propre par exemple il faut résoudre le système


donc je ne vois pas comment on y arrive.

Ensuite on dit que pour tout =+, on a f( )= , comment on a fait s'il vous plait?
et on conclut en disant que est une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à R , pareil je ne vois pas comment on a fait.

Je ne comprends pas le raisonnement qu'on a fait , pourquoi a t on calculé le polynôme caractéristique...

Merci d'avance pour votre aide car je suis perdu

[yos]

On commence par calculer le polynôme caractéristique de , on trouve et donc ses valeurs propres sont et .
Jusque là çà va même si je ne comprends pas pourquoi on fait çà ....

Une symétrie, c'est par raport à un sous-espace, et paralèlement à un autre sous-espace. Ces sous-espaces sont des espaces propres de f : ker(f-Id) pour le premier, ker(f+Id) pour le second. Il est donc normal de chercher les valeurs propres.

On dit juste après que les sous espaces propres associées sont les droites vectorielles orthogonales dirigées respectivement par = et =+.
Je ne comprends pas comment on obtient çà car pour la valeur propre par exemple il faut résoudre le système


donc je ne vois pas comment on y arrive.

On résout normalement (tu trouves x en multipliant la première égalité par (1+a), la seconde par b et en additionnant membre à membre les deux égalités obtenues) mais les vecteurs obtenus peuvent être remplacés par des vecteurs qui leurs sont colinéaires : tu peux simplifier en tenant compte de a²+b²=1.

Ensuite on dit que pour tout =+, on a f( )= , comment on a fait s'il vous plait?

On utilisde la linéarité de f et le fait que et

[log86]

Bonjour yos , merci pour vos explications; j'ai compris ce que vous m'avez expliqué.
Pourriez vous me dire si je me trompe ou pas s'il vous plait lorsque je résouds mon système s'il vous plait:
(a-1)x+by=0
bx+(-a-1)y=0

L1: (a-1)(a+1)x+b(a+1)y=0
L2: bbx-(a+1)by=0

L1: (a²-1)x+b(a+1)y=0
L2: b²x-(a+1)by=0

L1 + L2: (a²-1+b²)x =0 :L'1
L2: b²x-(a+1)by=0

or a²+b²=1
donc L'1: 0=0
L2: bx=(a+1)y

il faut donc que je sépare le cas où a=-1 et le cas où il n'est pas, c'est bien çà?
si a est différent de -1
L'1: x appartient à R
L2: =y

on choisit x= b donc y=
mais a²+b²=1 donc b²=1-a²=(1-a)(1+a)
d'où y=1-a
et on trouve bien ce qu'on voulait

si a=-1 alors b=0 mais je ne vois pas comment conclure après s'il vous plait.
Je vous remercie

[log86]

Désolé mais je me pose à nouveau une question; pourquoi on étudie les vecteurs qui sont combinaison linéaires de v1 et v-1, pour montrer que c'est une symétrie
ma question prouve peut être que je n'ai pas compris
excusez moi

[yos]

Ton opération sur les lignes a montré que, si alors L1=L2 (c'est normal sinon pas de solution autre que (0,0)).
Tu gardes donc L1 seul. Un vecteur solution est (b,1-a).
Le cas (a,b)=(-1,0) est immédiat.

Désolé mais je me pose à nouveau une question; pourquoi on étudie les vecteurs qui sont combinaison linéaires de v1 et v-1, pour montrer que c'est une symétrie

Tout vecteur est combinaison linéaire de v1 et v-1. Donc on s'intéresse à tous les vecteurs de E.
Imagine deux droites perpendiculaires D1 et D2. Tu décomposes un vecteur w quelconque en ses composantes w1 et w2 sur D1 et D2. La compoqsante w1 est laissée fixe par f, la composante w2 est transformée en son opposé. Que dire du vecteur f(w)? Fais un dessin.

[log86]

Bonjour yos , merci pour votre aide.Si cela ne vous dérange pas je voudrais vous posez encore quelques petites questions s'il vous plait.

Ton opération sur les lignes a montré que, si alors L1=L2 (c'est normal sinon pas de solution autre que (0,0)).
Tu gardes donc L1 seul. Un vecteur solution est (b,1-a).

je ne comprends pas bien, je n'avais pas besoin de résoudre tout le système c'est çà? c'est faux ce que j'ai fait?parce qu'en fait je ne montre pas que L1=L2.

Le cas (a,b)=(-1,0) est immédiat.

Si je prends le vecteur qui a pour coordonnée alors
=
donc on a fait une symétrie par rapport à la droite dirigée par le vecteur de coordonnées , car y est fixe et x s'est ransformé en son opposé,c'est bien çà?

Tout vecteur est combinaison linéaire de v1 et v-1.

en fait c'est parce quon peut toujours décomposer un vecteur en 2 vecteurs orthogonaux c'est bien çà?

Imagine deux droites perpendiculaires D1 et D2. Tu décomposes un vecteur w quelconque en ses composantes w1 et w2 sur D1 et D2. La compoqsante w1 est laissée fixe par f, la composante w2 est transformée en son opposé. Que dire du vecteur f(w)? Fais un dessin.

j'ai fait un dessin et f(w) c'est l'image de w par la symétrie vectorielle orthogonale d'axe D1, c'est bien comme çà qu'on appelle çà?
En fait ce qui me dérange c'est qu'un vecteur ce n'est pas fixe donc j'ai un peu de mal à me dire que f(w) est l'image de w par la symétrie vectorielle orthogonale ; c'est surement bête...

Merci d'avance pour vos réponses.

[yos]

je ne comprends pas bien, je n'avais pas besoin de résoudre tout le système c'est çà? c'est faux ce que j'ai fait?parce qu'en fait je ne montre pas que L1=L2.

Les équations L1 et L2 sont évidemment proportionnelles. Une seule suffit.

Si je prends le vecteur qui a pour coordonnée alors
=
donc on a fait une symétrie par rapport à la droite dirigée par le vecteur de coordonnées , car y est fixe et x s'est ransformé en son opposé,c'est bien çà?

Oui c'est ça.

en fait c'est parce quon peut toujours décomposer un vecteur en 2 vecteurs orthogonaux c'est bien çà?

D'une infinité de façons! Mais d'une seule façon si les directions sont imposées comme ici (et l'orthogonalité est inutile, la non colinéarité suffit en dimension 2).

En fait ce qui me dérange c'est qu'un vecteur ce n'est pas fixe.

Pour l'intuition géométrique, tu peux travailler avec n'importe quel représentant de ce vecteur.

[log86]

Bonjour yos , je vous remercie d'avoir répondu à mes questions.
J'espère que cela ne vous dérangera pas mais j'ai continué à travailler hier avec vos réponses et je me suis posé encore une question pour montrer que L1 et L2 sont proportionnelles.
En commençant le même raisonnement que dans le message plus haut j'ai
L1:(a-1)x+by=0
L2: bx+(-a-1)y=0

L1*(a+1) : (a-1)(a+1)x+b(a+1)y=0
L2*b : bbx-(a+1)by=0

L'1: (a²-1)x+b(a+1)y=0
L'2: b²x-(a+1)by=0
donc
L'1: -b²x+b(a+1)y=0
L'2: b²x-(a+1)by=0
et donc on voit bien que L1 et L2 sont proportionnelles car L'1 et L'2 sont égales.

Mais est ce que j'aurais pu partir de
L1: (a-1)x+by=0
L2: bx+(-a-1)y=0
et multiplier L2 par ?
parce que si je fais çà je dois bien enlever le cas où =0 non? car on ne peut pas multiplier une ligne pas par quelque chose de nul je ne me trompe pas?
donc il faudrait que j'enlève le cas où a=1, or je n'ai pas eu besoin de le faire quand je résouds de la première façon; donc je me demandais si je pouvais.
Si je le fais de cette façon , je sépare donc les couples (1,0) et (-1,0) car si b=0 on a 2 possibilités?
et donc L2 devient
L2: b* x+(-a-1)*y=0
or a²+b²=1 donc -b²=a²-1=(a-1)(a+1)
d'où
L2:(a-1)x+by=0
donc L1=L2
donc je trouve L1 et L2 sont proportionnelles.
Est ce que c'est faux?
Si ce n'est pas le cas , pourquoi doit on aussi séparer le cas où a=1?

En fait je n'arrive pas à savoir si je ne travaille que sur le système, c'est à dire que si je multiplie pas b alors j'exclue le cas où b=0
ou bien si je multiplie par b j'exclue le cas où b=0 donc comme a²+b²=1 j'exclue (1,0) et (-1,0). Ce que je n'ai pas fait pour la première résolution.

J'espère avoir été compréhensible dans mon problème.Je vous remercie encore

[yos]

donc il faudrait que j'enlève le cas où a=1, or je n'ai pas eu besoin de le faire quand je résouds de la première façon;

Si c'est pareil. Tu as multiplié une équation par a+1 l'autre par b, donc tu supposes et .
A noter que la condition suffit (elle entraîne l'autre).
Mais il faut pas s'en faire avec ce cas particulier. Tu l'écartes dés le départ en disant :
"si b=0, c'est évident. On suppose donc ".

[log86]

Merci yos d'avoir pris le temps d'avoir répondu à mes questions.
C'est vrai qu'il est plus facile d'enlever le cas b=0 comme çà j'enlève directement les cas où a=1 et a=-1.
Merci

[The Void]

Bonjour,

je voudrais montrer que si \vec{f} a pour matrice dans une base orthonormée (\vec{u},\vec{v}) M= \( \array{a&b\\b&-a}\) avec a^2+b^2=1alors \vec{f} est une symétrie vectorielle orthogonale.

A priori il est plus simple de montrer que M² = I et (transposée de M) = M, non?

[log86]

Bonjour The Void, en fait je partais d'une démonstration qui m'était donnée et que je ne comprenais pas. Il y a peut être comme vous le dites des manière plus faciles de le démontrer.