Commutant d'une matrice de symétrie

[Skullkid]

Bonjour, j'ai une matrice A de telle que et je dois trouver le commutant de A, ainsi que sa dimension.

C'est probablement très simple comme exo, mais je suis complètement bloqué...j'ai essayé sans succès de trouver une condition nécessaire sur les éléments du commutant, sur les éléments de l'image de , j'ai regardé pour n=2...bref, je m'éparpille de tous les côtés sans avancer.

Une petite indication serait la bienvenue. Merci d'avance.

[yos]

Bonjour.

Applique le théorème de décomposition des noyaux ou prouve directement que .

[Skullkid]

Avec ça je trouve que (avec et ) commute avec A ssi et commutent avec A.

Mais même en reportant le problème sur et je m'en sors pas...

[fahr451]

bonjour


il me semble qu'on y voit plus clair en travaillant avec les endomorphismes

A = matrice de s dans la base canonique de E = R^n

M celle de f

s^2 = id


en utilisant ce que te dit yos

prouve que f commute avec s ssi f laisse stable F = ker (s-id) et G = ker (s+id)


donc ssi la matrice de f dans une base de E obtenue par recollement d'une base de Fet de G est diagonale par blocs

[Skullkid]

Ok, merci beaucoup pour votre aide.

Donc si j'appelle p la dimension de , le commutant de A est , qui est de dimension p²+(n-p)², c'est bien ça ?

[fahr451]

les Eij sont les matrices de la base canonique ?

attention alors il manque des matrices de passage

la dimension est ok
si A = P A ' P^(-1)

avec A ' = diag (1,...,1,-1,...,-1)
commutant de A = P vect que tu donnes P^(-1)

d'où l'intéret de travailler avec les endos plutôt que des matrices

[Skullkid]

Ah, oui en effet j'avais oublié qu'on avait changé de base dans . Merci