Matrice de rotation

[Yezu]

Bonjour à tous,

Je m'initie à l'Algèbre linéaire actuellement et il y a un truc que je ne comprends pas sur les matrices de rotation, je comprends parfaitement la démonstration mathématique mais je n'arrive pas à retrouver le résultat par de simples manipulations géométriques sur un dessin.

Soit un point M du plan (O, i, j)
On note .
On définit l'angle orienté .

On a alors .

La rotation centrale d'angle sur le point M définit le point M' de coordoonées tel que :

.

Alors, le résultat est immédiat avec les formules d'addition trigonométriques mais géométriquement face à ma feuille et un dessin il n'est pas évident à retrouver pour moi.

Est-ce possible d'obtenir ce résultat "intuitivement" ? Probablement oui, mais je suis trop "nul" pour le voir.

Merci d'avance aux personnes qui pourraient m'éclairer.

[aviateur]

Bonjour
C'est bizarre ta question. Une rotation de centre O et d'angle et bien pour parler simplement
ton point M, tu le "fais tourner autour de O d'un angle " . C'est pas facile à comprendre ce que tu ne comprends pas. Donc si l'angle que fait OM avec l'axe Ox vaut après rotation il fera

[Yezu]

Je ne comprends pas comment retrouver (si possible) les coordoonées du point M' par de simples manipulations géométriques sur un dessin, sans passer par les formules d'addition trigonométriques.

[Ben314]

Salut,

Je ne comprends pas comment retrouver (si possible) les coordoonées du point M' par de simples manipulations géométriques sur un dessin, sans passer par les formules d'addition trigonométriques.

Ben c'est justement là que l'algèbre linéaire intervient : d&jà plutôt que de visualiser que c'est un point M que tu fait tourner, c'est nettement plus malin de dire que c'est le vecteur que tu fait tourner : on peut faire nettement plus d'opérations avec les vecteurs qu'avec les points. En particulier, on peut les ajouter et quand tu fait tourner la somme de deux vecteurs, ben le résultat, c'est la somme des images (par la rotation) des deux vecteurs. De même, si tu regarde l'image (par la rotation) d'un multiple d'un vecteur donné, ben ça fait le même multiple de l'image.
Bref, c'est ce que l'on appelle une application linéaire et c'est bien sûr la clef de voûte de l'algèbre linéaire.
Et pour en revenir à ton problème, si M a pour coordonnées (x,y) alors aussi ce qui signifie que (où est la base orthonormée directe dans laquelle tu as calculé les coordonnées).
Donc que et là, il est complètement évident sur un dessin que a pour coordonnées (et c'est même la définition du cosinus et du sinus) et que a pour coordonnées .
Et c'est bien évidement ce point de vue là qui permet de retrouver immédiatement la forme de la matrice d'une rotation.

[Yezu]

Merci beaucoup Ben !

J'ai très bien compris !