Matrice - Questions

[dcfan]

Bon salut à tous et merci de m'aider. Donc voilà les questions que je n'arrive pas à répondre.

1. Soit une matrice A de format 6x6, trouvez dét(2A) si:
a) A est involutive (A^2=I)
b) A est idempotente (A^2=A)

Note:Bon selon une propriété des déterminants, je sais que dét(2A) = 64dét(A), mais après je bloque.

2. Soit A(aij) de format nxn qui est une matrice diagonale et B=(bij) de format nxn qui est également une matrice diagonale telle que bii=log3(aii). Si Tr(B)=3, déterminez la valeur de dét(A).

3.Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n et nilpotentes d'indice 2. Vrai ou Faux?
a) A et B sont des matrices singulières.
b)AB forme une matrice nilpotente d'indice 2
c) Si AB=BA n'égale pas 0, alors AB forme une matrice nilpotente d'indice 2.


Merci d'avance de vos réponses

[fahr451]

bonsoir
1)
det A ^2 = (det A )^2
si A involutive on obtient det A = +- 1 et donc det 2A = +-64
si A^2 = A on obtient det A = 1 ou det A = 0 ce qui donne det 2A= 64 ou 0

2) tr B = somme bii = somme ln aii /ln 3 = ln produit aii / ln 3 = ln det A /ln 3

3 a vrai b faux c vrai