Matrice d'un projecteur

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici un exercice sur lequel je bloque :

On rapporte E=R^" à sa base canonique B
Soient la droite vectorielle D=Vect(1,2,1) et le plan P={(x,y,z) R^3, x-2y+5z=0}

1. Montrer que D et P sont supplémentaire.
2.Écrire la matrice dans la base canonique B et E de la projection vectorielle sur P parallèlement à D.
(On pourra proposer plusieurs méthodes, dont le passage par une base adaptée)

J'ai fait la question 1 mais je suis perdu pour la 2 !
Pouvez vous m'aider
Merci d'avance !

[Robot]

Première méthode : calculer les images des vecteurs de la base canonique par la projection en question.
Deuxième méthode : écrire la matrice dans une base adaptée (par exemple formée en mettant bout à bout une base de D et une base de P), puis faire le changement de base pour se ramener à la base canonique.

[Maths-ForumR]

Donc si j'opte pour la méthode n°2 :

La matrice dans la base adaptée est en colonne :
(1,2,1) (1,-2,5)
Mais comment procéder au changement de base ?

[zygomatique]

salut

incompréhensible ...

une base de D est ... ?
une base de P est ... ?

donc une base de R^3 est ... ?

la matrice de la projection dans cette base est ....?

la matrice de la projection dans la base canonique est ... ?

[Maths-ForumR]

Une base de D est a avec a=(1,2,1)
Une base de D est (y,z) avec y=(-2,1,0) et z=(-5,0,5)
Une base de R^3 est (y,z,a)

La matrice de projection dans cette base :
1 1
-2 2
5 1 ?

La matrice de la projection dans la base canonique je ne sais pas ..

[Robot]

Donc si j'opte pour la méthode n°2 :
La matrice dans la base adaptée est en colonne :
(1,2,1) (1,-2,5)
Mais comment procéder au changement de base ?

Oh la la ! Pas du tout. Première remarque : tu écris une matrice à trois lignes et deux colonnes comme matrice d'un endomorphisme de .
Ensuite : il serait bon que tu révises ce qu'est la matrice d'un endomorphisme dans une base.

[Maths-ForumR]

Je ne vois pas comment écrire la matrice dans la base adaptée ..

[Robot]

Notons la projection. Quelle est la définition de "la matrice de dans la base " (avec tes notations). Si tu ne vois pas bien, relis ton cours !

[Maths-ForumR]

J'obtiens la matrice suivante :

2. -5. 1
-2. 0. 2
0. 5. 1.

C'est bien ça ?

[Robot]

Pourquoi refuses-tu obstinément de donner la définition de la matrice de p dans la base (y,z,a) ? Au lieu de ça, tu continues à aligner au petit bonheur la chance des réponses fausses. Ce n'est pas une façon de travailler !

[Maths-ForumR]

C'est la matrice telle que la j-eme colonne contient les coordonnée dans la base (y,z,a) du vecteur p(ej)

[zygomatique]

mais un peut de sérieux !!

1/ que vaut p(y) ? p(z) ? p(a) ?

2/ dans la base (y, z, a) quelle est alors la matrice de p ?

[Maths-ForumR]

p(y)= (2, -5, 1)
p(z) = (2, 0, 2)
p(a) = (0, 5, 1)

Mp = 2 2 0
-5 0 5
1 2 1

[Robot]

C'est la matrice telle que la j-eme colonne contient les coordonnée dans la base (y,z,a) du vecteur p(ej)

Tu as recopié sans réfléchir. C'est la matrice dont la première colonne contient les coordonnées de p(y) dans la base (y,z,a), la deuxième les coordonnées de p(z) dans la base (y,z,a), la troisième les coordonnées de p(a) dans la base (y,z,a).

[Maths-ForumR]

La matrice du message a 13h56 est fausse ?

[Robot]

Elle est fausse.
Quelles sont les coordonnées de p(y) dans la base (y,z,a) ?

[Maths-ForumR]

p(y)=1y +0z +0a

[Robot]

Bon, ben continue !

[Maths-ForumR]

Donc :

p(y)= (1, 0, 0)
p(z) =(0, 1, 0)
p(a) =(0, 0, 1)

[Robot]

Non. Qu'est-ce que ça veut dire, que p est la projection sur P parallélement à D ?