Matrice hessienne et maxi, mini d'uen fonction.

[nivéa]

bonsoir,

je suis actuellement entrain de faire un exo, et je suis bloquée sur une question, je n'arrive pas à trouver pourriez-vous peut etre à me mettre sur la voie.
Soit, la fonction f(x,y)= xy

1) j'ai calculé les points critiques
- (0,0)
- ( , )
- ( , )
- ( , )
- ( , )

2) la matrice hessienne, je suis bloquée, je n'arrive qu'à trouvé une solution.

3) il faut que je cherche le minimum et le maximumde la fonction et pour augmenter l'existance des extremas en question je peux comparer les valeurs de f sur

Merci.

[busard_des_roseaux]

bjr,

en passant en coordonnées polaires, on voit:

1)la fonction est bornée sur
(elle tend vers zero quand )
donc inférieure à epsilon en dehors d'un disque fermé,
et est bornée sur ce disque (compact).

Elle admet au moins un minimum global car elle prend des valeurs négatives et un maximum global car elle prend des valeurs positives
(raisonnement analogue au théorème de Rolle)

2) étant ouvert, les extrema globaux sont
aussi des extrema locaux

3) l'origine n'est pas un extrema local car la fonction y change de signe

4) les autres points critiques sont des extremas globaux.
minimum ou maximum.

L'étude peut être menée grâce à la topologie et l'étude de la matrice hessienne donnera une confirmation (2 méthodes).


Pour le calcul de la hessienne, revenir à la définition et calculer les dérivées partielles.ensuite, je ne sais pas, il faut montrer que la matrice est
définie positive ou définie négative ?