Dérivée seconde et matrice hessienne

[ck97]

Bonjour,
je travaille sur un exercice portant sur la détermination des points stationnaire et leur nature, cependant je bloque sur les dérivées secondes mixtes.
Ma fonction : f(x,y)=x^3+y^3-3xy
Je commence par dériver par rapport à x, ce qui me donne : 3x^2-3y
Puis je dérive par rapport à y, ce qui me donne : 3y^2-3x
Je résous les équations suivantes : 3x^2-3y=0 et 3y^2-3x=0
Je trouve deux points stationnaires : (0;0) et (1;1) ensuite je détermine leur nature par une matrice hessienne:
Je calcul préalablement la dérivée seconde par rapport à x et y ce qui me donne : 6x et 6y
Et c'est ici que je bloque car je n'arrive pas a comprendre comment représenter ma matrice, je sais qu'il me manque deux dérivées secondes mais par rapport à x et à y et je ne vois pas comment faire...
Je vous remercie pour votre aide.

[pascal16]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_hessienne

df/dx se dérive ensuite en d(df/dx))/dx noté à tord d²f/dx² et d(df/dx )/dy

Pour comprendre un peu mieux
df/dx= 0 te donne un point critique.
mais df/dx=0 et :
_ df/dx passe de positive à négative -> c'est un maximum selon la direction de l'axe x
_ df/dx passe de négative à positive -> c'est un minimum selon la direction de l'axe x
_ df/dx ne change pas de signe :-> ce n'est pas un extremum.

il faut donc pour qu'un point soit un extremum : que les deux dérivées partielles s'annulent et changent de signe de la même manière (il me semble que c'est une implication, il faudrait que se soit vrai pour toute direction de la forme ax+by).

[ck97]

C'est à dire étudier le signe du déterminant de ma matrice hessienne ?
Je ne vois toujours pas comment la représenter, dans ma correction j'ai ma matrice :
6x -3
-3 6y
A quoi correspond "-3" ?

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu as une fonction dépendant de deux variables x et y et que tu la dérive deux fois, tu peut :
- Dériver en x puis de nouveau en x.
- Dériver en x puis en y
- Dériver en y puis en x
- Dériver en y puis de nouveau en y
Bref, il y a 4 dérivées secondes et c'est ces 4 valeurs là qui forment la matrice Hessienne.

[ck97]

Salut,
Lorsque tu as une fonction dépendant de deux variables x et y et que tu la dérive deux fois, tu peut :
- Dériver en x puis de nouveau en x.
- Dériver en x puis en y
- Dériver en y puis en x
- Dériver en y puis de nouveau en y
Bref, il y a 4 dérivées secondes et c'est ces 4 valeurs là qui forment la matrice Hessienne.

C'est tout ce que je demandais, j'ai compris, je te remercie

[ck97]

Et pour une fonction à 3 variables ? Comment je représente ma matrice hessienne ? Elle est en 3x3 ?

[Ben314]

Oui