Matrice de forme linéaire

[euler21]

Bonjour
je vous demande de m'indiquer comment on écrit la matrice d'une famille finie de formes linéaires. Est ce que c'est comme la matrice d'une famille finie de vecteurs ou bien on procède autrement?? Je veux dire si dim(E)=n et cardinal(famille)=p ; est ce que la matrice sera de taille (n;p) ou bien de taille (p;n)
Merci d'avance.

[alavacommejetepousse]

bonjour

je n'ai pas trop compris , mais a priori les formes linéaires sont des vecteurs de E* donc on peut écrire la famille des coordonnées de la famille dans UNE BASE de E* la matrice aura n lignes et p colonnes.

[euler21]

non justement: même si une forme linéaire est un vecteur de E*, mais elle est aussi vue comme une application de E dans K: on l'écrit donc comme une matrice ligne et non pas comme une matrice colonne comme pour les vecteurs de l'espace vectoriel.
c'est pour cela que j'ai demandé comment écrire cette matrice: est ce que chaque ligne qui représente les coordonnées de chaque élément de la famille et ainsi on conserve le cas d'une seule forme linéaire, ou bien on procède en considérant ces formes linéaires juste comme des vecteurs de E* et dans ce cas chaque colonne représente les coordonnées de chaque élément de la famille.
J'espère que je me suis fait comprendre.

[Nightmare]

Salut,

Eh bien ça dépend de comment on veut "utiliser" la forme linéaire ! Si on veut l'utiliser en tant qu' application à valeur dans le corps scalaire alors on va la représenter par une matrice ligne et si elle nous intéresse en tant que vecteur particulier du dual on va la représenter comme un vecteur colonne !

[alavacommejetepousse]

je redis donc
une matrice ne veut rien dire il faut dire matrice de quoi ( c est ta famille de formes) dans quoi et préciser les ou la base et alors on voit forcément quel aspect on considèez mais je n ai jamais vu de matrices dune famille d applications linéaires sauf quand celles ci sont considérées comme vecteurs

[euler21]

Je vous invite alors à lire le programme officiel des classes prépas de la filière mpsi sur la partie des matrices http://prepas.org/ProgrammesCPGE/
là on ne précise pas de quelle "vision" il s'agit pour cette matrice.

[alavacommejetepousse]

bon ben si tu sais pourquoi demander à ceux qui ne savent pas et nous inviter sur un lien où il faudrait tout lire...

[Nightmare]

Comme je l'ai dit, il n'y a pas de "vision" particulière à préciser, c'est selon le cadre de l'exercice ! Je ne comprends vraiment pas ton questionnement, beaucoup d'objets mathématiques peuvent être vus "différemment" sans préciser quelle est la bonne manière de les voir puisqu'il n'y en a pas.

[euler21]

bon ben si tu sais pourquoi demander à ceux qui ne savent pas et nous inviter sur un lien où il faudrait tout lire...

ok je m'excuse je vais copier ici juste le texte qui est concerné:
"Matrice MB (u) associé un endomorphisme u d’un espace
vectoriel E muni d’une base B. ....
Matrice dans une base d’une famille finie de vecteurs, d’une
famille finie de formes linéaires."

Toutes les matrices sur le texte sont définies d'une seule manière et ne dépendent pas de la vision contrairement au cas des formes linéaires. Je poste justement cette question parce que je crois en la rigueur mathématique surtout en termes de définition d'un objet mathématique. Ici c'est le cas de cette matrice et ma question est toujours sans réponse: est ce qu'elle est de taille n,p ou de taille p,n ; ceci avec dim(E)=n et cardinal(famille)=p

[alavacommejetepousse]

finalement si je comprends bien tu as un prof de maths demande lui donc
il est clair que quand on regarde un système linéaire une vision naturelle est de le regarder comme l intersection de noyaux de formes linéaires
chaque forme correspondant à une ligne de la matrice donc taille p n ici

mais peu importe on doit savoir de quoi on parle non?

[Ben314]

Je vais essayer d'être plus clair :
On se donne p forme linéaires et on veut fabriquer une matrice avec ca. Il y a deux DEUX solutions
1) Considérer la matrice constituée de l'expression de ces forme linéaires dans la base canonique du dual : elle est nxp et peut servir à plein de chose... (i.e. elle est trés "naturelle")
2) considérer la matrice de l'application linéaire de R^n dans R^p qui, à un x de R^n associe dans R^p : elle est pxn et.... tout aussi "naturelle" que l'autre.

Je te signale que la définition tout ce qu'il y a de plus mathématique d'une matrice c'est : des grandes parenthèses avec des "nombres" dedans (i.e. des éléments d'un anneau commutatif)
Une matrice peut "représenter" des tas de choses.... (et ce n'est pas un point de vue psychologico-machin-chose : c'est des MATH)

P.S. je pense qu'avec un peu de bonne volonté, je te trouve 10 Exos où le premier point de vue est utile et... 10 autres où c'est le second...