Matrice et endomorphisme

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 18:19

Bonjour à tous, amis matheux !

Voila, j'ai un petit exercice sur les matrices (je débute) et j'aimerais un petit coup de main. Merci d'avance !

Voici l'énoncé :

Soit f l'endomorphisme de R^n dont la matrice dans la base canonique s'écrit :

a_1 0 . . . 0 1
a_2 0 . . . 1 0
.
.
.
a_n-1 1 . . . 0 0
a_n 0 . . . 0 0

a/ Etudier en fonction de a_n le noyau et l'image de f.
b/ Dans le cas où f n'est pas bijective, donner une condition pour que Ker f + Im f = R^n

par **Nightmare** » 10 Jan 2009, 18:25

Salut,

pour le noyaux, c'est un système on ne peut plus simple, n'y arrives-tu pas?

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 18:28

Je ne sais pas vraiment écrire le noyau d'une fonction à vrai dire.

J'avais pensé à Im f = {(a_1 + 1, a_2 + X, ..., a_n-1 + X^(1-n), a_n + N^n)} mais je pense que c'est totalement faux...

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 18:30

Il faut écrire pour x dans ker(f) f(x)=0 et résoudre les équations.

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 18:34

Pour le noyau donc je dis
a_n = -X^n
a_(n-1) = -X^(n-1)
.
.
.
a_2 = -X
a_1 = -1
?

Et j'écris Ker f = {(-1, -X, ..., -X^n)} ?

Merci de votre aide à tous les deux en tout cas.

par **Nightmare** » 10 Jan 2009, 18:36

Il faut que tu révises ton cours d'algèbre linéaire :lol2:

Le noyau d'une matrice M est l'ensemble des vecteurs X (matrices de

) tels que MX=0

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 18:37

x=(x1,...,xN) dans R^n.

f(x) = (a1*x1+xN,...,aN*x1) (c'est un vecteur de R^n) (produit de la matrice de f et du vecteur x)

f(x)=0 =>...

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 18:49

Oula... Je suis perdu là... Les noyaux de matrice ça ne me parle absolument pas ça :triste:

Je dirai f(x) = 0 =>
a1 = -X(n-1)
a2 = -X(n-2)
.
.
.
aN = -X

?

par **Nightmare** » 10 Jan 2009, 18:51

Si ça ne te parle pas, pourquoi n'es-tu pas allé réviser ton cours avant de t'attaquer à un exercice qui traite de quelque chose que tu ne connais pas ?

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 19:01

Peut-être que ce n'est pas indiqué dans mon cours, tout simplement...

Mais si j'ai bien compris ce que tu m'as dit Nightmare, la seule matrice à n lignes et une colonne telle que MX = 0 est la matrice :
0
0
.
.
.
0

non ? (si on prend a_n non nul)

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 19:04

Ecris proprement MX et écris ensuite MX=(0,0,....,0)

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 19:22

(a1 0 . . .. . 0 1) ( e1 ) ( a1e1 + en )
(a2 0 . .. . . 1 0) ( e2 ) ( a2e1 + en-1)
(. ) ( . ) ( . )
(. ) x ( . ) = ( . )
(. ) ( . ) ( . )
(an-1 1 . . . 0 0) ( en-1 ) ( an-1e1 + e2 )
(an 0 . . . 0 0) ( en ) ( ane1 )

Donc si an non nul alors : e1 = e2 = ... = en = 0, non ??

EDIT : mise en page foireuse à cause des espaces qui se suppriment...

par **Anneauprincipal** » 10 Jan 2009, 19:27

Tout à fait. Et si an est nul ?

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 19:31

Si an = 0 alors il faut que :

e2 = - an-1 e1
e3 = - an-2 e1
.
.
.
en = - a1 e1

sauf erreur

par **les TPEistes** » 10 Jan 2009, 19:52

Et pour l'image je l'écris comment ?

Im f = {(a1e1 + en, a2e1 + e(n-1), ..., ane1)} ?

par **les TPEistes** » 11 Jan 2009, 11:44

Quelqu'un peut confirmer ou corriger svp ? :hein:

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