Matrice d'un endomorphisme

par **adrien0189** » 09 Déc 2009, 18:22

Bonjour!
voila j'ai un endomorphisme d'une base B donnée (e1,e2,e3,e4) d'un espace vectoriel et qui a pour matrice -1 -3 4
-2 -2 4
-3 -3 5

comment puis je faire pour déterminer les nombre a et b pour que le vecteur (V = x1 + ax2 + bx3) ait une image nulle par f ?

f étant l'application linéaire liée à l'endomorphisme.

Avant tout comment peut on déterminer une application linéaire à partir d'une matrice ?

A vos crayons :id:

par **Nightmare** » 09 Déc 2009, 18:27

Salut !

Déjà question : Qui sont x1, x2 et x3 ?

Ensuite, tu sais surement qu'un endomorphisme est uniquement déterminée par l'image d'une base. Les colonnes de la matrice de l'endomorphisme sont les coordonnées de l'image de chaque vecteur de la base par ce dernier.

par **fatal_error** » 09 Déc 2009, 18:34

salut,

Caractérisons ta forme linéaire :
f(e_1)=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4
f(e_2)=b_1e_1+...+b_4e_4)
...
f(e_4)=d_1e_1+...+d_4e_4
Bon maintenant si on prend un vecteur quelconque v, il peut s'écrire sous la forme
ae_1+be_2+ce_3+de_4.
Lorsque tu veux connaitre limage de v par f, il te suffit d'utiliser la propriété que f est linéaire :
f(v)=f(ae_1+be_2+ce_3+de_4)=f(ae_1)+f(be_2)+f(ce_3)+f(de_4), or tu connais f(e_1),f(e_2)...

Tu comprends alors l'intérêt de caractériser les images des vecteurs de ta base.
Du coup, dans la matrice tu va donner l'image de chaque vecteur de ta base par f. Cqui permet de connaitre l'image de tout vecteur qui sexprime en combi linéaire des vecteurs de ta base.

Pour revenir a ton exo, pe connait-on x_1,x_2,x_3?

par **Nightmare** » 09 Déc 2009, 18:54

Salut fatal_error !

Rien n'indique que c'est une forme linéaire à priori non?

par **fatal_error** » 09 Déc 2009, 19:16

salut nightmare,

ouyouyouye, j'ai toujours cru que c'était la même chose...
Bon, sans faire gaffe, chui apparemment resté avec le fait que c'est simplement une appli linéaire vu que j'ai bien carac
f(e_1)=a_1e_1+...+a_4e_4, qui nous fait bien rester dans l'EV, et ici de départ parce que endormorphisme.

J'espère que j'empile pas les boulettes...

par **adrien0189** » 10 Déc 2009, 19:59

V=( x1 + ax2 + bx3) est un vecteur de l'endomorphisme.
x1 x2 et x3 en sont ses coordonnées.

J'ai pour ma part trouver une solution...
Ah oui j'avais oublié de préciser que x1 était connu et qu'il valait 1

J'ai repris les idées de Fatal_error :++:
Connaissant f(e1) f(e2) f(e3) qui ne sont autres que les colonnes de la matrices...

j'en arrive à la conclusion que a=b=1 :zen:

par **adrien0189** » 10 Déc 2009, 20:05

Maintenant je m'attaque à la démonstration suivante :
on pose e'2 = f(e2) et e'3 = f(e3)
Montrer que B'=(e'1 , e'2 , e'3 ) forme une base de E

et à l'écriture de la matrice de f suivant cette base que je viens de démontrer ainsi que son image et son noyau :hum:

Matrice d'un endomorphisme

matrice d'un endomorphisme

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