Matrice définie positive

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linkado
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matrice définie positive

par linkado » 25 Juin 2020, 11:52

Bonjour à tous,

Je cherche à savoir si une matrice définie positive est toujours une matrice symétrique. J'ai beau avoir cherché, je n'ai pas trouvé de réponse, les définitions données par des sites ne sont pas toujours très claires :/
Par exemple je tombe souvent sur la definition d'une matrice symétrique définie positive, d'où ma question.

Merci d'avance pour vos retours



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Re: matrice définie positive

par fatal_error » 25 Juin 2020, 16:55

slt,


est symétrique et def positive
est pas symétrique mais encore def positive
la vie est une fête :)

linkado
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Re: matrice définie positive

par linkado » 25 Juin 2020, 18:00

merci de ta réponse, donc la notion de matrice définie positive ne désigne donc pas que des matrices symetriques (je savais qu'on pouvait montrer les proproétés de matrices definies positives pour des matrices non symétriques comme celle de ton exemple mais je ne savais pas si on pouvais toujours parler de matrice definie positive pour celle la).

En tout cas merci de ta réponse

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Re: matrice définie positive

par fatal_error » 25 Juin 2020, 18:15

@linkado

je pense que tu as raison. C'est une erreur de ma part:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_a ... e_positive

Dans le cas des coeffs réels, on ne peut parler de matrice def positive que si la matrice est symétrique.
Le cas complexe est j'imagine similaire, mais je vais arrêter les dégats ici
la vie est une fête :)

tournesol
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Re: matrice définie positive

par tournesol » 25 Juin 2020, 19:34

pour une matrice à coef réels Il suffit de définir une "pseudo positivite" par pour toute marice colonne X à coef réels , et la "pseudo définie positivité" par positivité et ssi X=0
Utilité possible avec les coniques , quadriques ? je n'en sais rien .

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Ben314
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Re: matrice définie positive

par Ben314 » 25 Juin 2020, 21:52

Salut,
tournesol a écrit:Utilité possible avec les coniques , quadriques ? je n'en sais rien .
Le problème, c'est que lorsque tu as sous les yeux une forme quadratique, c'est à dire une application de la forme , ben y'a des tonnes de matrices qui donnent cette même forme quadratique.
Par exemple, , provient de n'importe quelle matrice .
Par contre, il n'y a systématiquement qu'une et une seule matrice symétrique qui correspond à une forme quadratique donnée (et c'est les fameuses "formules de polarisation" qui te donnent l'unique forme bilinéaire symétrique correspondant à ta forme quadratique).
Bref, ta définition de "pseudo positive" pourrait peut-être être utile dans certains domaines, mais pas pour l'étude des coniques/quadriques vu que là, ce qu'on a au départ, c'est une forme quadratique.

De plus, cette nouvelle définition ne sert pas à grand chose vu que pour une matrice réelle quelconque on a clairement : est pseudo [définie] positive est [définie] positive.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

tournesol
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Re: matrice définie positive

par tournesol » 26 Juin 2020, 00:23

Merci à toi pour l'éclairage .

linkado
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Re: matrice définie positive

par linkado » 26 Juin 2020, 10:46

J'aimerais en fait pouvoir appliquer des algorithmes type Gauss-Seidel dans la résolution de systèmes Ax=b
La convergence vers le bon résultat est assurée dès lors que la matrice A est définie positive. Je vais me renseigner un peu plus sur la preuve de cette convergence

 

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