Matrice complexe hermitienne

[kamelie17]

bonjour,

j'aimerais savoir si la methode du determinant pour calculer les valeurs propres reste inchangée pour une matrice hermitienne avec des termes complexes.

j'ai une matrice dans ce cas et je n'arrive pas du tout à trouver les bonnes valeurs propres alors je me pose des questions :/

si ça intéresse quelqu'un, voilà la matrice qui me fait suer du front depuis deux heures: ^^"

4 i -1
-i 4 1
i 1 4

avec A = transposée de ( A barre ) => matrice hermitienne.

Mmerci et bonne journée.

[adrien69]

bonjour,

j'aimerais savoir si la methode du determinant pour calculer les valeurs propres reste inchangée pour une matrice hermitienne avec des termes complexes.

j'ai une matrice dans ce cas et je n'arrive pas du tout à trouver les bonnes valeurs propres alors je me pose des questions :/

si ça intéresse quelqu'un, voilà la matrice qui me fait suer du front depuis deux heures: ^^"

4 i -1
-i 4 1
i 1 4

avec A = transposée de ( A barre ) => matrice hermitienne.

Mmerci et bonne journée.

Elle est pas vraiment hermitienne ta matrice... Moi je dis ça je dis rien hein.

[kamelie17]

voir "matrice hermitienne" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Hermitien

Ma matrice vérifie cette propriété alors je ne vois pas en quoi elle ne le serais pas? peut etre parce que j'ai mal réécris ma matrice:

4 i -i
-i 4 1
i 1 4

désolée ^^"

[XENSECP]

Salut.

J'ai pas fait le truc en entier mais je note quand même que 5 est une valeur propre "évidente" :)

[kamelie17]

mince pourquoi mes calculs ne menent à rien? donc la thechnique du determinant donnent des resusltats simples alors? je vais revoir ça...

[adrien69]

mince pourquoi mes calculs ne menent à rien? donc la thechnique du determinant donnent des resusltats simples alors? je vais revoir ça...

La "méthode du déterminant" (c'est un nom tout bonnement horrible), n'est généralement utile que si couplée à une intuition géométrique de la matrice considérée ou couplée à un ordinateur. Le fait est que tu as très souvent des matrices de taille supérieure à 3, donc trouver toutes les valeurs propres n'est pas évident.

Je n'ai absolument pas calculé le déterminant, mais je sais que ses racines doivent être réelles, et que les sev propres sont orthogonaux.

Donc je regarde le vecteur (0,1,1), parce que la matrice a une forme bien particulière. Il est associé à la valeur propre 5. Puis je regarde l'orthogonal, qui est l'ensembles des (a,b,-b), a,b dans C. Ce qui permet de réduire le problème à un problème 2x2.
On doit désormais considérer la matrice
4 2i
-i 3
Dont les deux valeurs propres sont visiblement, grâce au polynôme caractéristique, 5 et 2 ; ou bien sinon on voit le vecteur propre (i,-1) associé à 2, ce qui nous donne pour la 3x3 le vecteur (i,-1,1), et enfin en prenant un vecteur orthogonal aux deux autres, par exemple (2i,-1,1) on trouve la valeur propre 5, encore une fois.

Quitte à normaliser les vecteurs, on a trouvé les valeurs propres, la matrice unitaire de passage et le tour est joué.
Tu remarqueras qu'une des deux méthodes (qui me donne les vecteurs propres) n'emploie pas l'outil déterminant mais demande juste un peu de savoir-faire.

[kamelie17]

La "méthode du déterminant" (c'est un nom tout bonnement horrible), n'est généralement utile que si couplée à une intuition géométrique de la matrice considérée ou couplée à un ordinateur. Le fait est que tu as très souvent des matrices de taille supérieure à 3, donc trouver toutes les valeurs propres n'est pas évident.

Je n'ai absolument pas calculé le déterminant, mais je sais que ses racines doivent être réelles, et que les sev propres sont orthogonaux.

Donc je regarde le vecteur (0,1,1), parce que la matrice a une forme bien particulière. Il est associé à la valeur propre 5. Puis je regarde l'orthogonal, qui est l'ensembles des (a,b,-b), a,b dans C. Ce qui permet de réduire le problème à un problème 2x2.
On doit désormais considérer la matrice
4 2i
-i 3
Dont les deux valeurs propres sont visiblement, grâce au polynôme caractéristique, 5 et 2 ; ou bien sinon on voit le vecteur propre (i,-1) associé à 2, ce qui nous donne pour la 3x3 le vecteur (i,-1,1), et enfin en prenant un vecteur orthogonal aux deux autres, par exemple (2i,-1,1) on trouve la valeur propre 5, encore une fois.

Quitte à normaliser les vecteurs, on a trouvé les valeurs propres, la matrice unitaire de passage et le tour est joué.
Tu remarqueras qu'une des deux méthodes (qui me donne les vecteurs propres) n'emploie pas l'outil déterminant mais demande juste un peu de savoir-faire.

j'ai un peu du mal à voir les valeurs propres de cette manière :/

voici mon calcul (je suis désolée mais il n'y a que ça que je "gere") :

4-L ... -i ... -i
-i ... 4-L ... 1
i ... 1 ... 4-L

calcul du determinant:
(4-L) [ (4-L)(4-L)-1] + i [( -4i+ Li)+i] +i[-i +4i-Li]
= (4-L)(16-4L-4L+L²-1] +i(-3i+Li)+i(3i-Li)
= (4-L)(15-8L+L²) - 3i² + Li² + 3I² -Li²
= (4-L)(15-8L+L²)
5 ET 3 : du polynome second degre
4 valeur simple: (4-L)

[adrien69]

4-L ... -i ... -i
-i ... 4-L ... 1
i ... 1 ... 4-L

Faudrait savoir c'est quoi ta matrice ????