Matrice anti-circulante

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Connaissez vous un moyen simple de diagonaliser une matrice carrée, anti-circulante, d'ordre ( Particulièrement d'ordre ) ?

Soit une matrice carrée, anti-circulante, d'ordre .

Alors s'écrit comme un polynome en que l'on note : , c'est à dire .

J'ai du mal à diagonaliser .

Connaissez vous comment trouver le polynome annulateur de , ou son polynome caractéristique, directement ?

Par exemple si on prend, pour : , alors , donc, est ce que, en général, ?

Cordialement. :happy3:

[Ben314]

Salut,
Ta matrice J, vu comme un endomorphisme, elle échange et , et elle envoie sur , sur , sur ... sur
Avec ça (comme pour toute matrice de permutation), tu as vite fait de voir quel est son polynôme minimal.

[wserdx]

Bonjour à tous, :happy3:

Connaissez vous un moyen simple de diagonaliser une matrice carrée, anti-circulante, d'ordre ( Particulièrement d'ordre ) ?

Soit une matrice carrée, anti-circulante, d'ordre .

Alors s'écrit comme un polynome en que l'on note : , c'est à dire .

J'ai du mal à diagonaliser .

Connaissez vous comment trouver le polynome annulateur de , ou son polynome caractéristique, directement ?

Par exemple si on prend, pour : , alors , donc, est ce que, en général, ?

Cordialement. :happy3:

Je pense que ta matrice J n'est pas un générateur des matrices anticirculantes à elle toute seule (sauf dans les cas n<=2 !!!)
Vois plutôt ici:
Hankel

[barbu23]

Salut,
Ta matrice J, vu comme un endomorphisme, elle échange et , et elle envoie sur , sur , sur ... sur
Avec ça (comme pour toute matrice de permutation), tu as vite fait de voir quel est son polynôme minimal.

Je trouve : pour
:hein:
J'ai du mal à voir comment s'écrive . :mur:

Je pense que ta matrice J n'est pas un générateur des matrices anticirculantes à elle toute seule (sauf dans les cas n<=2 !!!)

Peux tu me donner plus de précisions sur ce passage ?
Merci beaucoup, je vais essayer de comprendre ton lien à tête reposée d'ici quelques minutes. :happy3:

[Ben314]

Donc (quelque soit n)
Et ça te montre en particulier que le produit de deux matrices anticirculantes n'est en général pas anticirculante (vu que n'est pas anticirculante).
Cela signifie que, contrairement aux matrices circulantes, les anticirculantes ne forment pas une sous algèbre de l'ensemble des matrices et qu'en conséquence, la notion de "engendré par" (au sens des algèbre), ben ça veut rien dire dans ce contexte.
A la limite, tu peut en chercher une base en temps qu'espace vectoriel, mais ça veut dire que tu a plus rien à f... de la structure multiplicative des matrices...

[barbu23]

Donc (quelque soit n)
Et ça te montre en particulier que le produit de deux matrices anticirculantes n'est en général pas anticirculante (vu que n'est pas anticirculante).
Cela signifie que, contrairement aux matrices circulantes, les anticirculantes ne forment pas une sous algèbre de l'ensemble des matrices et qu'en conséquence, la notion de "engendré par" (au sens des algèbre), ben ça veut rien dire dans ce contexte.
A la limite, tu peut en chercher une base en temps qu'espace vectoriel, mais ça veut dire que tu a plus rien à f... de la structure multiplicative des matrices...

Merci beaucoup, c'est très claire. :happy3:
Comment trouver une base de l'espace des matrices anticirculantes en tant que espace vectoriel ?
Est ce que les matrices anticirculantes commutent entre elles ? ( En particulier, est ce que commute avec les matrices anticirculantes )
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

J'ai du mal à saisir la méthode d'explication de diagonalisations des matrices anticirculantes sur le lien de @wserdx. :triste:
Pourriez vous m'expliquer étape par étape cette diagonalisation.
Je bloque à partir du moment où l'auteur de cette page traite le cas est paire.
est - elle la taille de la matrice anticirculante ?
Que représente concrètement ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Concernant la base, ben tu prend la matrice "générique" (en haut de page de wiki) et tu l'écrit bêtement où les matrices sont entièrement nulles sauf une "antidiagonale" pleine de 1.
Concernant les , c'est les colonnes de la matrice P donc , ben c'est la colonne "du milieu"...
Concernant la commutation, c'est même pas la peine d'essayer : les générateurs (les çi dessus), c'est des matrices de permutations d'ordre 2 et y'a aucune raison que ça commute...

[barbu23]

Concernant la base, ben tu prend la matrice "générique" (en haut de page de wiki) et tu l'écrit bêtement où les matrices sont entièrement nulles sauf une "antidiagonale" pleine de 1.
Concernant les , c'est les colonnes de la matrice P donc , ben c'est la colonne "du milieu"...
Concernant la commutation, c'est même pas la peine d'essayer : les générateurs (les çi dessus), c'est des matrices de permutations d'ordre 2 et y'a aucune raison que ça commute...

Merci beaucoup @Ben314. :happy3:
Peux tu me dire pourquoi on calcule sur le lien suivant ( celui de @wrdex ) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Hankel
Autrement dit, à quoi sert d'avoir dans cette affaire ?
Je ne comprends pas non plus comment on trouve la diagonalisation de à partir de celle de . Autrement dit, est ce que est une matrice diagonale ? :mur:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Les matrices "de base" anticirculantes correspondent à des permutations formées de transpositions disjointes (i.e. et donc il parait logique de chercher le même type de liens (à changement de base prés) dasn une matrice antidiagonale quelconque, c'est à dire des couples de vecteurs U,V tels que f(U)=V et f(V)=U avec un éventuel facteur multiplicatif.
Après, la matrice de passage P, elle sort pas de nulle part : c'est celle qui permet de diagonaliser les matrices circulantes.
Enfin, M' elle est pas diagonale : on te dit en bas que, quitte à réordonner la base, elle est formée de blocs 2x2 du style de la matrice A.

[barbu23]

Je m'excuse, mais je suis encore confus, est diagonale par blocs après permutation, c'est ça l'idée ? Parce que , et donc, pour que soit une diagonalisable, et une réduction de diagonalisation, alors doit être diagonale, non ? :mur:
Je sais que est une matrice de passage d'une matrice circulante, et dont les colonnes sont des vecteurs propres, mais, j'ai du mal à voir les valeurs propres. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Je m'excuse, mais je suis encore confus, est diagonale par blocs après permutation, c'est ça l'idée ? Parce que , et donc, pour que soit diagonalisable, et une relation de réduction, alors doit être diagonale, non ? :mur:
Je sais que est une matrice de passage d'une matrice circulante, et dont les colonnes sont des vecteurs propres formées des puissances d'une - ième racine primitive de l'unité, mais, j'ai du mal à voir les valeurs propres. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

La matrice M' n'est pas diagonale elle est formée de blocs 2x2 du type de la matrice A d'en bas.
Si tu veut diagonaliser M, il te faut diagonaliser tout ces blocs 2x2.
Les valeur propres seront alors les qui apparaissent dans A et les vecteurs propres associés seront des combinaisons linéaires des colonnes et de P.

[barbu23]

La matrice M' n'est pas diagonale elle est formée de blocs 2x2 du type de la matrice A d'en bas.
Si tu veut diagonaliser M, il te faut diagonaliser tout ces blocs 2x2.
Les valeur propres seront alors les qui apparaissent dans A et les vecteurs propres associés seront des combinaisons linéaires des colonnes et de P.

Merci.
Alors, pour faire une petite synthèse de ce que j'ai compris depuis le début :
est la matrice de Hankel qu'on a l'intention de diagonaliser.
On pose : , on trouve que est une matrice diagonale par blocs, simple ( plus au moins ) à diagonaliser, qu'on diagonalise une nouvelle fois.
Après diagonalisation, on trouve la relation de réduction , avec une matrice de passage, et une matrice diagonale.
Par conséquent : : relation de réduction de la matrice de Hankel de valeurs propres regroupées dans ( celles que tu as cité dans ton dernier poste ), non ?
Merci d'avance :happy3:

[Ben314]

A part que ça marche pas pour les matrices dites de Hankel en général mais uniquement pour les matrices anticirculantes, c'est ça.

[barbu23]

A part que ça marche pas pour les matrices dites de Hankel en général mais uniquement pour les matrices anticirculantes, c'est ça.

Pourquoi ??? :hein:
Ici, http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Hankel , on ne traite que le cas où est pair. Et pour impair, comment on procède ?
Comment détermine t-ton facilement la matrice de passage de ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

A part que ça marche pas pour les matrices dites de Hankel en général mais uniquement pour les matrices anticirculantes, c'est ça.

Pourquoi ??? :hein:
Ici, http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Hankel , on ne traite que le cas où est pair. Et pour impair, comment on procède ?
Comment détermine t-ton facilement la matrice de passage de ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Le cas impair est traité : le "si" de la phrase "Si n est pair, -1 est racine n-ième de l'unité..."
prend fin avec le "... est la somme alternée des coefficients de chaque ligne."

Aprés, c'est quoi que tu appelle "la matrice de passage de " ?
Si c'est la matrice de passage de M' à une matrice diagonale, c'est une matrice en "bloc" 2x2 qui correspondent aux matrices de passages des différentes matrices A à une matrice diagonale.

[barbu23]

Le cas impair est traité : le "si" de la phrase "Si n est pair, -1 est racine n-ième de l'unité..."
prend fin avec le "... est la somme alternée des coefficients de chaque ligne."

Je n'ai pas compris, sincèrement.
Je suis toujours un peu lent dans la compréhension des mathématiques.
En plus, ça fait des années que je ne fais pas de l'algèbre linéaire, c'est pourquoi je plante vite.

Aprés, c'est quoi que tu appelle "la matrice de passage de " ?

Comme je t'ai expliqué au début, s'écrit et , et donc, c'est la matrice de passage de , Comment la retrouve-t-on ?

Si c'est la matrice de passage de M' à une matrice diagonale, c'est une matrice en "bloc" 2x2 qui correspondent aux matrices de passages des différentes matrices A à une matrice diagonale.

Je n'ai pas compris ce passage, malheureusement. :dodo: :marteau:
Il faut que je commences à réviser mes cours pour que je puisse comprendre mieux ces choses là. :hum: :we:
Merci d'avance pour vos éclaircissements. :happy3:

[Ben314]

A mon avis, prend un "petit" exemple avec n=3 puis n=4 et regarde comment ça marche dans ces cas là.