Logique et simplification de formules

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profnours
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Enregistré le: 07 Mai 2022, 23:57

Logique et simplification de formules

par profnours » 08 Mai 2022, 00:53

Bonsoir à tous,
Dans le cours donné aux élèves, après avoir rappelé les règles de simplifications de formules non exhaustives (données ci-dessous) :
– Deux negations valent une affirmation :
¬(¬P) ≡ P
– associativité et commutativité de conjonction et disjonction
– idempotence de ou et de et
– tautologie et contradiction :
P ∨ ¬P ≡ 1 P et ¬P ≡ 0
– double distributivit´e :
P ∨ (Q et R) ≡ (P ∨ Q) et (P ∨ R) P et (Q ∨ R) ≡ (P et Q) ∨ (P et R)
– absorption :
– lois de De Morgan :
¬(P et Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P et ¬Q
– definition de l'équivalence :
P équivaut à Q ≡ (P implique Q) et (Q implique P)
– definition de l'implication:
P implique Q ≡ ¬P ∨ Q

Je pense avoir prouvé l'exercice suivant :
Demontrer le theoreme suivant du calcul propositionnel à l’aide de transformations
sur les formules :
(p et q sont des atomes) ¬(p et q) équivaut à (¬p ou ¬q)

(je ne détaille pas la résolution ici)

Je bloque sur le suivant :
Demontrer le theoreme suivant du calcul propositionnel à l’aide de transformations
sur les formules :
(Avec p et q des atomes) (p implique q) équivaut à ( non p et q)

J'ai commencé de la façon suivante : Je veux prouver que (E) ≡ 1 (1 dans le sens de vrai)
(E) ≡ (p implique q) équivaut à ( ¬p ou q)
(E) ≡ ( (p implique q) implique (¬ p ou q) ) et ( ( ¬ p ou q) implique (p implique q) )
(E) ≡ ( ¬ (p implique q) ou (¬p et q) ) et ( ¬ (¬ p ou q) ou ( p implique q) )


Je bloque ensuite car je ne peux pas écrire autrement le "p implique q". ( Je ne peux pas le remplacer par ( non p et q) car c'est ce que je veux prouver ici...)

Remarque 1 : On ne doit pas utiliser de table de vérité, ce n'est pas l'idée de l'énoncé
Remarque 2 : Désolé, je ne manipule pas bien les symboles ici pour écrire ça plus clairement, j'ai conscience que c'est moche à lire
Remarque 3 : Désolé aussi pour les fautes d'orthographe

Merci pour votre aide et ceux qui auront eu le courage de lire! Je ne suis pas sûr d'être bien clair, désolé...
Bonne soirée



 

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