Logique Propositionnelle & Théorèmes

[fmlucas]

Salut tout le monde,
je suis un cours de philo et le sujet actuel c’est la Logique Propositionnel.
Dans la leçon d’équivalence logique, la prof nous a appris quelques équivalences remarquables (associativité, commutativité, conditionnel etc. etc.) et deux théorèmes pour qu’on puisse mener des calculs sur les formules :
- Théorème de Substitution
- Théorème de Remplacement

J’ai très bien compris l’idée du théorème de substitution, mais je n’arrive pas du tout à comprendre l’idée derrière le théorème de remplacement. Au fait, je croyais avoir compris mais après quand la prof le développe et l’applique sur des vrais calculs, je ne comprends pas ce qu’elle fait ou en quoi elle l’a appliqué.
D’abord, voilà comme la prof a noté chaque théorème (ses propres mots) et comme moi, j’ai transcrit l’idée (mes propres mots, au-dessous de la notation du théorème ) :
• T.Substitution :
Si ;)1 ;) ;)2, alors ;)[;)1/p] ;) ;)[;)2/p]

Si P ;) Q, et que P est un élément dans une formule, alors je sais que dans cette formule je peux substituer P par Q. Autrement dit, les “identiques pour équivalence logique” sont substituables.
(Voilà, je pense que l’idée est clair pour moi. Pas de difficultés)

• T.Remplacement
Si ;);), alors, pour tout p et tout ;), ;) ;) [;)/p]

Si P ;) Q, et que P est un élément dans une formule tautologique, alors je sais que si je remplace P par Q, la nouvelle formule est aussi (demeure) une tautologie.
(Voilà comme j’ai interprété. Ça me semblait plutôt évident, logique)

Les difficultés commencent :
1) la prof nous dit ensuite que « une conséquence du théorème de remplacement c’est que les équivalences logiques sont comme des ‘’identités remarquables’’ ».
Première question : que veut cela dire ? Cette conclusion ne serait pas plutôt une conséquence du théorème de substitution ? Pourquoi ?

2) Ensuite, elle conclut que avec les équivalences logiques qu’on a appris et muni de ces deux théorèmes nous pouvons mener des calculs sur les formules. Elle nous donne l’exemple suivant (je le transcris mot à mot, symbole à symbole) :


Montrons que p ;) (q ;) r) ;) (p ;) q) ;) r

Résolution et explication:
Prenons « p ;) (q ;) r) »
p ;) (q ;) r) ;) (¬p ;) (q ;) r)) (nous venons d’appliquer le Conditionnel et le Théorème de Remplacement)
(¬p ;) (q ;) r)) ;) (¬p ;) (¬q ;) r)) (ici nous avons appliqué le Conditionnel, le T.Remplacement et le T.Substitution)
((¬p ;) (¬q ;) r)) ;) ((¬p ;) ¬q) ;) r) (ici on a appliqué l’Associativité de ;) et le Théorème de Remplacement)
((¬p ;) ¬q) ;) r) ;) (¬(p ;) q) ;) r) (là on vient d’appliquer les Lois de Morgan, le T.Remplacement et le T.Substitution)
(¬(p ;) q) ;) r) ;) ((p ;) q) ;) r) (et là on a appliqué le Conditionnel et le Théorème de Remplacement)


Voilà, fin de la démonstration de la prof.
Maintenant, la grande question : j’ai tout à fait compris comment et où sont les applications des équivalences qu’elle mentionne tel que le Conditionnel, l’Associativité et les Lois de Morgan, et également pour le Théorème de Substitution, mais je ne comprends, ni vois du tout l’application du Théorème de Remplacement dans cet exemple. Et c’est justement l’application qu’elle mentionne le plus ! Alors, soit je n’ai pas vraiment bien compris qu’est-ce que le Théorème de Remplacement signifie, sa conséquence et son application, soit la prof a une compréhension beaucoup plus large de son application que celle que je peux en déduire, ou encore elle s’est trompé quelque part. La question finale pourrait donc être :
- qu’est-ce que c’est le Théorème de Remplacement ? Quelle est sa définition ?
- par conséquence, comment pouvons-nous nous utiliser de ce théorème ?
- finalement, dans l’exemple précis de l’exercice résolu par la prof, où et comment elle a appliqué ce théorème ?

Voilà. Si vous pouvez m’aider je serais énormément reconnaissant. Et si ça peut être fait par un langage explicatif plus que mathématique ça serait génial. J’ai déjà lu quelques ouvrages de logique pour comprendre qu'est-ce que ce théorème, mais même après l’avoir vu mathématiquement formulé, je ne comprends toujours pas comment et où elle applique ce théorème dans le cas montré.