Pb limites

[kkk]

Bonjour !
Voilà mon problème :
Je veux montrer que f est continue en -1 si et seulement si k1=-ln2

J'ai f(x)= [ln(1-x) + k1]/(x^2-1) définie sur ]-oo,-1[

Du cop je veux mntrer que f est prolongeable par continuité en -1, c'est à dire qu'elle admet une limite finie.

Or au dénominateur cela tent vers 0 et au numérateur vers ln2+k1

Ce qui me bloque c'est que je n'aboutis pas à ce qui est demandé !
Du coup comment montrer que k1=-ln2 ?

Je vous remercie,

kkk

[tize]

Bonjour,
tu viens de montrer que si alors de toute manière f n'est pas prolongeable par continuité puisque le quotient tend vers + ou - l'infini.
Il ne te reste plus qu'à montrer que la limite existe en -1 pour (taux d'accroissement)

[Joker62]

je l'aurais plutôt écrite comme ça



Le deuxième ressemble étrangement à un taux d'accroissement

Pô bien de modifier tize lol

[kkk]

Merci tize !
Il faut donc que je fasse apparaître un taux d'accroissement ?


A partir de la fonction même réecrite..j'ai beaucoup de mal à trouver une limite.

[Joker62]

J'pense que t'as pas besoin de le faire apparaître il est déjà là, on le voit bien d'ailleurs :o

[tize]

je l'aurais plutôt écrite comme ça
Le deuxième ressemble étrangement à un taux d'accroissement
Pô bien de modifier tize lol

oui c'est vrai j'ai vu l'inversion et j'ai modifié tout de suite, avant que tu n'écrives ton message, autrement je ne me serai pas permis... :we:

Il faut donc que je fasse apparaître un taux d'accroissement ?

ba ça y est, Joker62 et moi l'avons fait apparaitre...

[kkk]

Arf !
oui !
Mais..la limite...j'en bave !
...pourrais-tu m'aider ? :girl2:

[Joker62]

Beuh voyons, la limite d'un taux d'accroissement
C'est la dérivée en ce point.

Ici x tend vers -1, la fonction c'est ln(1-x)
(Quand on prend x = -1, on a bien ln(2) => Donc c'est un bon début )

Dérive ln(1-x) et calcule sa valeur en -1, ensuite le premier membre, c'est trivial.

Et donc y'a pas de souci tize j'imagine bien que t'es pas comme ça :D (k)

[kkk]

Merci Joker162 !
En fait cette question s'inscrit dans le cadre un exrcice complet..
Poyrrais-tu m'aider quad à la conclusion de cet exercice ?J'ai répondu à toutes les questions maintenant mais le gros problème c'est que je suis incapable de conclure..
Encore merci,
kkk

[Joker62]

T'as dû trouver la limite = 1/4 si je ne m'abuse !

Et donc, j'aimerai vraiment conclure, mais le fait est, que je n'ai pas ton exercice sous la main, désolé

[kkk]

OUi, c'est un peu bête comme siuation. Mais ça va s'aranger
Voici l'exercice en question :


On considère l'équation différentielles d'inconnue y(x) :

(E) : (x^2-1)y'(x)+2xy(x) = 1/(x-1)

On pose :
I1=]-oo,-1[
I2=]-1,1[
I3=]1,+oo[

1)Résoudre (E) sur chaque intervalle

J'ai trouvé sur I1 :
y(x)= [ln(1-x)+k1]/(x^2-1)
Sur I2 :
y(x)=[ln(1-x)+k2]/(x^2-1)
sur I3 :
y(x)=[ln(x-1)+k3]/(x^2-1)

Maintenant on définit une fonction f sur D=]-oo,1[U]1,+oo[ de la façon suivante :
-sur I1 : f est une solution de (E) asociée à une constante k1
-sur I2 : f est une solution de (E) associée à une constante k2
-sur I3 : f est une solution de (E) associée à une constante k3
en -1, f(-1)=a (a réel)

On veut que f soit une solution de (E) sur D

ie que f soit de classe C1 sur D et qu'on ait
pour tout x appartenant à D, (x^2-1)y'(x)+2xy(x) = 1/(x-1)

2) En utilisant (E), que vaut nécessairement a ?
Là je bloque un peu..je ne vois pas comment utiliser (E)

3)Montrer que f est continue en -1 si et seulement si k1=K2=-ln2
OK !

On pose alors k1=k2=-ln2

4)En utilisant la formule de Taylor montrer qu'au voisinage de -1 :
ln(1-x)=ln2 -(1/2)(x+1) + (1/8)(x+1)^2 + o((x+1)²)
OK !

5)En déduire que f est dérivable en -1 et que f' est continue en -1
OK !

6)Quelles sont les solutions de (E) sur D ? Combien en trouve t-on ?
Ben là..après tout ce que j'ai fait jai du mal à faire tous les liens et à conlure.


Merci encore

kkk

[Joker62]

Pour la 2) où tu bloques, tu sais que f(-1) = a
f est solution de (E)

Donc (x^2-1)f '(x) + 2xf(x) = 1/(x-1)

Et tu sais que f(-1) = a, donc -2a = -1/2 ( on a juste remplacer x par -1 )
étrangement on retrouve a = 1/4 :D

Et donc pour finir, je pense que le but de l'exercice c'est de dire, que sur D, f est une solution maximale ( C'est bien avec les équa diff que peut-on dire d'autre ? :D ) donc pour celà, il faut que la limite à gauche de -1 de f, soit égale à la limite à droite de -1 de f
Ce qu'on vient de faire car d'après la question précédente f est dérivable en -1, donc les limites à gauche et à droite sont égales.

f est une solution maximal sur D = ]-oo;-1[U]-1;+oo[

Quand je bloque sur un exo, je me demande ce que le prof peut bien nous poser comme question sur tel ou tel sujet, et il advient souvent que les questions possible se restreignent à un ensemble de cardinal 1 ( J'm'éclate lol )

[kkk]

Arf !
Vraiment, merci beaucoup !
Tu vas me prendre pour une attardée mais ...pour revenir à ma première question :

Pour la dérivée j'ai :

-1/(x-1)² * [-1/(1-x) * (x+1) -ln(1-x)+ln2]/(x+1)²

Or en -1.le dénominateur est nul...

Et puis en fait je dois t'avouer que je ne comprend pas comment on justiie explicitement que f est continue en -1 SI et seulement si k1=k2=-ln2

Merci de ta patience,
kkk

[Joker62]

si les conditions le permettent évidemment. ( Niveau terminale là hein )

Ici tu as trouver ça :



Donc d'après au dessus, c'est égale à

De plus la Donc le produit tend bien vers

[kkk]

Ahhhhh !
Je me permet de t'embêter ancore un tout petit peu...(por me rassurer sur un point)
Tu sais, pour la question 5 ou il faut déduire du développement de ln(1-x) que f est dérivable en -1 et que f' est continue en -1.
J'ai simplement justifié le fait que les fonctions sont dérivables en -1 en étudiant leur domaine de dérivabilité, est-ce suffisant ?

[Joker62]

si x != -1

avec

D'où

tu peux finir

[kkk]

du coup je fais la limite de f(x)-f(-1)/x+1 ? :briques:
:we:

[Joker62]

Tu fais comment d'habitude pour montrer qu'une fonction est dérivable en 1 point x0???

[kkk]

Je calcule la limite du taux d'accroissement.Si elle est finie, c'est Ok, non ?

[Joker62]

Comme quoi t'avais pas besoin de moi pour celle-ci :)