Limites de suites.

par **Deluxor** » 19 Oct 2011, 17:26

Bonsoir,

On se propose d'étudier les suite

et

définies pour

par les relations :

et

.

1) J'ai vérifié par équivalence que :

.

2) J'ai montré que :

.

3) Comment montrer à l'aide de la formule du binôme que :

?

J'ai commencé par dire que :

4) En admettant le résultat précédent, j'ai montré par récurrence que :

Conclure relativement au comportement de la suite

en

.

5) Déterminer la limite de la suite

.

6) Etablir que, pour tout réel

positif ou nul :

.

En déduire que :

7) Etablir que, pour tout réel de

:

En déduire que :

8) Déduire par un encadrement que :

et en déduire la limite de la suite

.

Pouvez-vous me guider pour la question 3) premièrement?

Merci d'avance!

par **elvis77** » 19 Oct 2011, 17:33

la formule du binome de newton est juste, regarde le 1er terme et le dernier terme, le signe des autres termes, que peux tu en conclure ?

par **Deluxor** » 19 Oct 2011, 17:49

Le premier terme vaut 1, le dernier vaut

, et les autres termes sont tous positifs.

par **elvis77** » 19 Oct 2011, 18:00

d'accord, ensuite quelle est l'hypothèse sur n ?
conclusion...

par **elvis77** » 19 Oct 2011, 18:02

sinon je viens de penser avec un développement limité, tu peux aussi t'en sortir mais je ne sais pas si vous l'avez vu.

par **Deluxor** » 19 Oct 2011, 18:26

Est-ce juste ?

et

Donc, par addition des inégalités :

.

par **elvis77** » 19 Oct 2011, 18:42

non je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement, mais je te propose sinon d'écrire (1+1/n)puissance n avec exponentielle et logarithme et d'utiliser que n est plus grand ou égal a 1, je viens de le tester, ça se fait bien.

par **Deluxor** » 19 Oct 2011, 18:43

elvis77 a écrit:non je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement, mais je te propose sinon d'écrire (1+1/n)puissance n avec exponentielle et logarithme et d'utiliser que n est plus grand ou égal a 1, je viens de le tester, ça se fait bien.

Pour quelles raisons le raisonnement ne serait-il pas juste?

Tous les termes sont positifs...

par **elvis77** » 19 Oct 2011, 19:54

1/n^n n'est pas supérieur a 1
en effet :
pour n>1
n^n>1 par inverse
1/n^n <1 donc tu ne peux pas conclure pour la somme.
et avec le passage exp log, ça marche ?

par **Le_chat** » 19 Oct 2011, 20:00

Sinon, dans ta formule du binome, le premier et le deuxième terme valent tous deux 1, tu devrais pas avoir de mal à montrer (1+1/n)^n;)2.

par **Deluxor** » 20 Oct 2011, 11:38

Merci !

5)

Est-ce juste?

6) De quoi partir pour démontrer que

par **Le_chat** » 20 Oct 2011, 17:12

Pour 5) je pense que c'est bon.
Pour 6), pourquoi ne pas étudier x->x-x^2/2-ln(1+x)?

Limites de suites.

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