Limite d’une suite

[Sara1999]

Bonjour, est ce qu’il y a une technique pour calculer la limite de la suite:
Sqrt( a1+sqrt (a2+sqrt(a3+….+sqrt(an)))…..) avec an une suite récurrente non constante ( car dans le cas où elle est constante, il suffit de consdérer la fonction f(x)= sqrt(a+x)
Merci d’avance.

[Ben314]

Salut,
Sans plus de précision concernant la formule de récurrence vérifiée par la suite on ne peut pas dire grand chose, surtout concernant l'éventuelle limite (la convergence, par contre, c'est souvent relativement simple).
Sinon, un truc qu'on utilise assez fréquemment dans ce type de contexte, c'est d'écrire que ton (avec plein de racines), c'est un certain avec une formule de récurrence du type (où les ? ne sont pas les mêmes partout et dépende de la formule liant les )

[Sara1999]

Merci , ma suite (a_n ) vérifie la relation de récurrence suivante:
a_(n+1)= (a_(n)^2-12a_(n)+42)/6
Mais je n’arrive pas encore à trouver une relation algébrique qui me permet de calculer la limite.

[Ben314]

Dans ce cas, je pense qu'effectivement une bonne approche pourrait être d'écrire que où et où la suite de fonctions est définie par puis

[Sara1999]

Ce qui me complique la chose c’est que d’un côté j’ai x et d’un autre (x^2-12x+42)/6 .
Puis-je avoir un autre coup de pouce ?
Merci.

[Ben314]

En fait, avec les valeurs numériques de ta suite récurrente, j'arrive pas à grand chose : en général, le premier truc qu'on fait, c'est de conjecturer la limite de la suite de fonction sauf que là, j'arrive à rien . . .
Tu es absolument certaines de tes valeurs ?

[Sara1999]

Effectivement, je me suis trompée, c’est un 72 à la fin et non 42 .
Je m’excuse.
En calculant quelques termes de un, il semble que la limite est 6,5 . Comment le prouver?
Merci.

[Ben314]

Ben non, la limite n'est surement pas un simple réel mais une fonction vu que ça dépend évidement de la valeur initiale (inconnue) de la suite .
Par contre, avec 72 et pas 42, ce qu'on a, c'est que ce qui permet d'avoir une formule close pour en fonction de et de l'inconnue .

[Sara1999]

La limite de fn est bien sûr une fonction, si mon calcul est bon, j’ai évoqué la limite de un en conjecturant que c’est 6,5.
Sinon pour an j’ai trouvé que an=6( 2^(2^n) +1) .
Mais comment ceci peut m’aider à trouver la fonction limite . Merci .

[Ben314]

Et ton ça risque pas d'être ça non plus vu que ça dépend de l'inconnue .

[Sara1999]

Dans l’énoncé a1=30.

[Sara1999]

Cherchant une fonction f telle que f(x)=racine( x+f( (x^2-12x+72)/6) sous forme de polynôme j’ai trouvé que f(x)= x/6 + 2
Mais …

[Ben314]

Effectivement, si alors et on doit pouvoir montrer que (et ce résultat perdure pour et ).
Par contre, pour alors et c'est toujours mystère et boule de gomme concernant : j'arrive uniquement à montrer que c'est convergent vers un entre et (voire plus précis) et je suis convaincu que c'est équivalent à du lorsque .

[Sara1999]

Dans l’énoncé que j’ai entre les mains a1=30 > 12 .
Donc je n’ai aucun espoir peut-être.

[Sara1999]

S’il vous plait est ce que je peux savoir comment vous avez obtenu cet encadrement ? Merci .

[Ben314]

Pour un fixé, la suite est croissante (vu qu'à chaque itération, on rajoute un truc positif à la fin de la cascade de racines carrées) et on montre facilement par récurrence sur que, pour tout , (on peut même faire légèrement mieux que 5).

EDIT : sauf erreur, j'ai un peu mieux. Pour

[Sara1999]

Merci beaucoup.

[Sara1999]

Pour x=30 , le calcul approchée que j’ai conjecturé, à savoir 6,5 vérifie bien : 6,5 >= racine(3/2 .30 -3) de manière très approchée.

[Sara1999]

Bonjour, je reste sur ma soif pour déterminer la valeur exacte .
Puis-je du moins comprendre l’idée de l’encadrement de fn(x) ?
Merci .

[Ben314]

Je pense avoir montré que, pour puis que, pour
ce qui donne bien

Les preuves sont ici