Limite d'une suite

[mathelot]

Bonjour,
je sèche sur la question:

la suite définie par récurrence:

a pour limite 1.

[mathelot]

en fait, je posais la question pour en discuter:
si des gens sont interéssés,pourriez vous démontrer d'abord:

si alors


puis
bornée
puis

[mathelot]

et la limite éventuelle est nécessairement 0 ou 1 ou . Donc 1
est la seule limite possible.

[fahr451]

l'encadrement semble clair pour x,y>0
par symétrie on suppose x=

[mathelot]

oui, on se contente de l'encadrement sur car la suite de terme général est à valeurs strictement positives.

[fahr451]

on pose Mn = max (un,un+1) et mn = min ( un,un+1) on obtient
Mn+1 =< max (1/mn , Mn) ;mn+1>= min (mn , 1/Mn)

[mathelot]

j'en viens à la question qui me pose problème:
pour démontrer que la limite de la suite est 1, je dois montrer
que si a est une valeur d'adhérence de la suite, il existe trois valeurs
d'adhérences b,c,d telles que:

quelqu'un a une idée ?

[mathelot]

pour x>0 et y>0




l'inégalité

se montre de la même manière.

Soient les premiers termes de la suite. Par récurrence,
on montre que:

la suite est donc bornée.

[mathelot]

introduisons la notion de quasimajorant:
M est un quasimajorant de la suite de terme général si

un quasimajorant majore les termes de la suite à partir d'un certain rang.
si M est un quasimajorant de notre suite, en est un quasiminorant.
j'ai besoin aussi de la notion de valeur d'adhérence d'une suite:
est valeur d'adhérence si tout voisinage de contient un terme de la suite. L est une valeur d'adhérence ssi il existe une suite extraite qui converge vers .
Revenons à notre suite:
si a en est une valeur d'adhérence, on extrait une sous suite qui converge vers a. soit une telle suite extraite. Alors est une sous suite. On en extrait une sous suite convergente vers une valeur d'adhérence b, soit , puis on réitère le procédé en extrayant une sous suite de la suite
Nous avons donc le résultat suivant:
si est une valeur d'adhérence de notre suite, il existe des valeurs d'adhérence , non nécessairement distinctes de a, ni distinctes entre elles, telles que:
et

[mathelot]

soit la suite du début (celle proposée à l'étude).
posons et .
Montrons que
D'après la définition de L:

d'où:

comme est calculé avec et :



comme c'est pour quelconque,

on montre de même que:

d'où

[mathelot]

Soit et
est la plus grande valeur d'adhérence de la suite. est la plus petite valeur d'adhérence de la suite.
l étant une valeur d'adhérence , il existe trois valeurs d'adhérence a,b,c telles
que :
et d'après le post de 8h59.
comme L est la plus grande valeur d'adhérence,
et
d'ou

de:

on tire:

d'où:


d'où:


par un raisonnement analogue, on tire
or:

d'ou:


la suite est donc convergente. CQFD.
Ps:la limite ne peut être que 1.
j'ai trouvé ça chouette comme démo.c'est pas de moi. mais j'ai pu la
reconstituer. Ce qui est intéressant, c'est que les méthodes analytiques habituelles ne donnent rien içi.

[fahr451]

finalement tu fais les questions et les réponses : t 'es fait pour enseigner :)

[mathelot]

bon, lançons nous dans l'étude de:

et et



là, je découvre avec toi.