Limite d'une suite

[ludo60]

Bonjour, je rencontre des problèmes sur un exercice:

On considère une suite de premiers termes et (des réels quelconques) et par la relation de récurrence d'ordre 2: .

En premier lieu, il fallait montrer que SI la suite converge, alors c'est nécessairement vers 0. Je m'en suis sorti sans trop de problèmes.

La deuxième question est de montrer qu'effectivement, cette suite converge (et donc vers 0).

J'ai cherché à montrer que cette suite est décroissante minorée afin de prouver la convergence mais je ne m'en sors pas.

Merci pour un coup de main

[Pseuda]

Bonjour,

Ce que je ferais : d'abord montrer que : (c'est facile vus les coefficients devant et ).

Puis on considère ). Il faut majorer par une suite qui converge vers 0.

Remarque : cette suite n'est pas forcément décroissante.

[arnaud32]

tu peux montrer pour commencer que la suite est bornee par max(|u0|,|u1|)

[Arbre]

Salut,

J'aurais personnellement une autre stratégie :

1/Montrer que est bornée.

2/En déduire la limite à partir de la forme de

Cordialement.

[Arbre]

@Arnaud32, ta réponse a été mise avant la mienne, alors qu'il y a trois minutes cela n'était pas le cas, serais-tu pré-modéré ?

Ou le forum bugg...

[ludo60]

Merci pour vos réponses ! Je n'ai pas le temps de les décortiquer maintenant mais ferai ça demain et vous tiens au courant de mon avancé.

[Pseuda]

Salut,

J'aurais personnellement une autre stratégie :

1/Montrer que est bornée.

2/En déduire la limite à partir de la forme de

Cordialement.

Bonjour,

Oui, c'est mieux (plus simple).

[ludo60]

Je pense m'en être sorti grâce à votre aide:

Comme proposé, j'ai posé .

A l'aide de l'inégalité triangulaire, et du fait que , je montre que .

Bon, il y avait peut-être plus rapide mais je déduis de cette inégalité par une récurrence rapide que pour tout entier n strictement positif, . La suite est bornée.

Ensuite, je me sers de la réponse de "Arbre":

et ceci tend vers 0.

Merci encore pour votre temps. Après, j'ai l'impression que cette méthode n'est pas dans l'esprit de l'exercice puisque l'idée de la question 2 me semble être de prouver la convergence sans nécessairement déterminer explicitement la limite car celle-ci, si elle existe, est égale à 0 d'après 1).

[aviateur]

Bonjour
On peut toujours chercher d'autres solutions mais quand on en une c'est déjà bien.
Maintenant mon avis est que la solution est bien dans l'esprit de l'exercice.
En effet, si on se pose la question de la convergence d'une suite (comme ici), savoir que la seule limite possible c'est0 nous aide beaucoup car pour répondre à la question on cherche à majorer |u_n-l|=|u_n|.
Plus précisément si on a cherché à majorer |u_n| c'est parce que on a bien utilisé la première question, c'est à dire que l'on avait une idée de la limite.

[Razes]

Bonjour,

Soit :

Donc:

D'où:

;

Tu rajouter une récurrence.

D'où:
On passe à la limite et le tour est joué.

[ludo60]

En relisant la discutions, je me rend compte qu'un truc me chagrine... Je n'ai pas montré que la suite converge mais seulement que converge. Par exemple, la suite qui est absolument convergente n'est pas convergente.

[Arbre]

Bonjour,

Lis cela :

On peut toujours chercher d'autres solutions mais quand on en une c'est déjà bien.
Maintenant mon avis est que la solution est bien dans l'esprit de l'exercice.
En effet, si on se pose la question de la convergence d'une suite (comme ici), savoir que la seule limite possible c'est0 nous aide beaucoup car pour répondre à la question on cherche à majorer |u_n-l|=|u_n|.
Plus précisément si on a cherché à majorer |u_n| c'est parce que on a bien utilisé la première question, c'est à dire que l'on avait une idée de la limite.

tend vers 0, donc tend vers 0.

[ludo60]

Je n'ai pas assez réfléchi, c'est vrai que dans notre cas, la suite converge absolument vers 0, donc la suite ne peut que converger vers 0.

Désolé pour le dérangement:-)

[ludo60]

Oui Arbre, merci