Limite d'une suite

[Rik95]

Bonsoir,

Comment puis je calculer la limite de la suite Un = 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n svp ?

En la majorant et en la minorant j'ai réussi a montrer que l est entre 1 et 1/2 mais après sa je bloque totalement ....

Dans les question précédente je devais montrer la convergence de la suite 1 + 1/2 + ... + 1/n -ln(n) puis l'exo a préciser dans une parenthèses que sa limite est appelée constante d’Euler cela a t'il a rapport avec la question suivante ?

Merci

[Ben314]

Salut,
Si tu as déjà montré que tendait vers une constante (peu importe laquelle), ça te donne quoi ? (ça s'exprime comment ? et ça tend vers quoi ?)

[Rik95]

Merci pour ta réponse rapide, donc S2n-Sn-1 donne : (1/n - ln(n) ) + (1/n+1 -ln(n+1)) + ... + 1/2n - ln(2n) si je ne me trompe pas mais je n'ai aucune idée de vers quoi sa tend ... enfin vu comme sa je dirai - l'infini

edit : quoi que enfaite je crois que sa donne plutôt sa : 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n - ln(2n) + ln(n)

[Ben314]

edit : quoi que enfaite je crois que sa donne plutôt sa : 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n - ln(2n) + ln(n)

Presque : Si on fait (avec l'indice n-1 pour le deuxième) le 1/n ne disparaitra pas et ça sera du ln(n-1) à la place du ln(n).

Concernant la limite, Tu sait que S_n tend vers L.
Vers quoi tend S_{2n} ? et S_{n-1} ?

EDIT : Concernant la somme, c'est toi qui as raison, ça vient du fait que j'ai mal lu l'énoncé et que je croyais qu'on commençait à 1/n et pas à 1/(n+1) [si tu met pas de parenthèse, normalement, il n'y a aucune ambiguïté, 1/n+1, ça veut dire (1/n)+1 : les multiplications/divisions sont prioritaires sur les additions/soustractions]

Et ça veut dire que c'est (sans le -1) qu'il faut faire.

[Rik95]

Presque : Si on fait (avec l'indice n-1 pour le deuxième) le 1/n ne disparaitra pas et ça sera du ln(n-1) à la place du ln(n).

Concernant la limite, Tu sait que S_n tend vers L.
Vers quoi tend S_{2n} ? et S_{n-1} ?

Si je ne me trompe pas se sont des suites extraite donc elle tendent aussi vers L

[Ben314]

Si je ne me trompe pas se sont des suites extraite donc elle tendent aussi vers L

Oui. donc la différence entre les deux tend vers L-L=0 (c'est pour ça qu'on se fout de la valeur de L)

[Rik95]

Oui. donc la différence entre les deux tend vers L-L=0 (c'est pour ça qu'on se fout de la valeur de L)

Ok donc si limite de S2n-Sn = 0 alors limite 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n) = limite -ln(n) + ln(2n) ?
( avec ma calculette si je prend N très grand le résultat tend vers ln2 ( a peu prés ) et vu que sa limite est entre 1/2 et 1 cela me semble correct mais je n'en suis pas encore sur )

[Ben314]

[Rik95]

J'ai fais de l'autre façon ^^ ln(2n) - ln(n) = ln(2n/n) = ln(2) ^^

Sinon pour la suite on ma demandé une autre limite mais je bloque, on a Vn = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 + ... + ((-1)^n+1)/n , je l'ai écris de cette façon : Vn = 1/1.2 + 1/3.4 + 1/5.6 + ... + 1/(n(n+1)) mais après sa je bloque j'ai essayer quelques trucs et je suis arrivé a 1/1+n < Vn < ln(1 +1/n) mais je suis sur que c'est faut car dans ce cas la limite serai de 0 hors Vn est croissante ...

[Ben314]

Je sais pas trop ce que tu sais sur les séries numérique, donc on va faire... comme si tu savait rien :
Montre que les suites et sont adjacentes : ça te permettra de prouver que la limite existe... sans pour autant savoir ce qu'elle vaut...

[Ben314]

Ta somme, coupe là en 2 : les termes impairs (avec des +) : tu note In leur somme
et les termes pairs (avec des -) tu note Pn leur somme de façon à avoir Vn=In-Pn.

Ensuite, cherche des relations entre Pn, In et la somme Tn=1+1/2+1/3+...+1/n que tu connais assez bien grâce aux questions précédentes.

Indications :
1) Considère que n=2k (ça change pas grand chose vu que la différence entre 2 termes consécutifs de Vn tend vers 0.
2) Tu doit pouvoir trouver suffisamment de relations pour exprimer In et Pn uniquement en fonction de Tn et Tk (où n=2k)

[Rik95]

Ok merci je vais essayer

[Rik95]

Bon je n'arrive pas au resultat :(

Voila ce que j'ai fait :

In = 1 + 1/3 + 1/5 +...+ 1/(2k+1)
Pn = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2k

In + Pn = Un + ln(n)
Donc yn = In - Pn + Pn - Pn = Un + ln(n) - 2Pn et 2 Pn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k = Un + ln(n) ce qui m'amene a 0 ... ce qui est faux donc je suppose que je ne peu pas considerer que In + Pn = Un + ln(n) ?

a part sa ... j'ai pas d'idée

[Ben314]

Tu as bien les deux relations essentielles, mais tu t'embrouille entre le n et le k : si on utilise k partout, ça donne :
Si on pose


Alors


donc


Et tu en déduit la valeur de ton

P.S. Le et le tu peut mettre ce que tu veut comme indices : k ou 2k, voire rien du tout vu que tu ne t'en sert que là et que dans cette partie, c'est le même k du début à la fin.

[Rik95]

Mmmm en effet c'est plus simple que ce que je pensais, je me suis bien embrouiller avec les indices ^^

Merci pour ton aide :)