Limite d'une suite

[Anonyme]

OurtIrfArf

[cuati]

Bonsoir à tous,

Je bloque sur la limite de cette suite que je dois trouver :

lim n-> infini de : ((3^n)*n!)/(n^n)

Désolé je ne maitrise pas le Latex ..

Voilà donc je n'ai pas vraiment de piste, si quelqu'un a une idée,

Merci d'avance pour votre aide.

Une piste : la formule de Stirling (la limite est )

[Anonyme]

Bonsoir,

Merci mais je n'ai jamais entendu parlé de ça.. Enfin on en a pas parlé en cours, c'est le seul moyen ?

Si oui je vais me renseigner alors :)

[cuati]

Bonsoir,

Merci mais je n'ai jamais entendu parlé de ça.. Enfin on en a pas parlé en cours, c'est le seul moyen ?

Si oui je vais me renseigner alors

Non c'est pas le seul moyen, tu peux prendre le log de ta suite puis encadrer par des intégrales. Tu peux alors encadrer le log de ta suite et montrer que le tout tend vers +l'infini et donc la suite aussi... mais c'est plus long
sinon, pour la Formule de Stirling

[Anonyme]

Non c'est pas le seul moyen, tu peux prendre le log de ta suite puis encadrer par des intégrales. Tu peux alors encadrer le log de ta suite et montrer que le tout tend vers +l'infini et donc la suite aussi... mais c'est plus long
sinon, pour la Formule de Stirling

Re,

Wouah, je ne comprends pas grand chose à Stirling.. Et pour ce qui est des log ça ne me paraît pas simple simple..

Il y a possibilités de s'en sortir en calculant un+1/un par exemple ?

Merci d'avance.

[Anonyme]

@Vie89

A quoi penses tu quand tu écris qu'on peut calculer un+1/un ?

[Nightmare]

Il y a possibilités de s'en sortir en calculant un+1/un par exemple ?

Tu peux, soit en écrivant u(n) en fonction des u(n+1)/un, soit en invoquant directement le critère de Cauchy pour les séries.

[Anonyme]

Euh ok, moi en fait ce que j'ai commençais à faire :

Je calcule un+1/un, j'étudie la limite de ça, je trouve 3/e, ensuite peut-être puis-je en déduire quelque chose sur la suite ?

@Nightmare : une fois arrivée où je suis arrivé, ça rejoins ce que tu dis ?

Merci d'avance.

[Nightmare]

L'idée est d'écrire que

Si la suite u(n+1)/u(n) tend vers 3/e, alors quel que soit , à partir d'un certain rang N dépendant de , tous les pour n > N seront supérieurs à .

Comme 3/e est plus grand que 1, on peut choisir un de sorte que soit strictement supérieur à 1. (par exemple sans prendre de gros risque). A ce epsilon correspond un certain rang à partir du quel tous les facteurs u(n+1)/u(n) seront supérieurs à (3/e-epsilon) qui est donc par construction un certain réel strictement supérieur à 1, qu'on note x.

En revenant à la réécrire de u(n) du départ, on scinde les facteurs en deux : Ceux pour lesquels n est > N0 et les autres :



D'après la définition de N0, chaque facteur du premier crochet est minoré par x, donc le crochet entier est minoré par x fois le nombre de facteurs du crochet, qui est égal à . Le deuxième crochet quant à lui est un certain nombre réel positif, nommons le m.

On obtient alors

Comme x est > 1, et comme y est positif, .

u(n) est minorée par une suite qui tend vers +oo donc tend elle-même vers +oo.

[Nightmare]

Je rajoute une petite explication plus grossière de la démonstration précédente.

L'essentiel tient dans deux choses :

1) L'écriture de u(n) comme produit de u(k+1)/u(k). Quand n tend vers +oo, u(n) est donc un produit infini de u(k+1)/u(k).

2) Le fait que la suite u(n+1)/u(n) tende vers quelque chose de strictement supérieur à 1.

Le point 2) implique que chaque facteur u(k+1)/u(k) est strictement supérieur à 1 à partir d'un certain rang. Et si on multiplie entre eux des réels strictement supérieurs à 1 une infinité de fois, le produit tend forcément vers +oo. C'est tout ce qu'il y a à comprendre.

Si les u(n+1)/u(n) ne tendait pas vers un réel strictement supérieur à 1, le raisonnement précédent était faux, on peut par exemple multiplier 1 une infinité de fois, on obtiendra toujours 1. Si on multiplie une infinité de fois entre eux des réels strictement compris entre 0 et 1, on tend vers 0.

[Anonyme]

@Nightmare

Au niveau de tes explications et de ta méthode : c'est pas un peu frapper avec un marteau sur une mouche (en fait je ne me souviens plus du dicton)

[Anonyme]

Je rajoute une petite explication plus grossière de la démonstration précédente.

L'essentiel tient dans deux choses :

1) L'écriture de u(n) comme produit de u(k+1)/u(k). Quand n tend vers +oo, u(n) est donc un produit infini de u(n+1)/u(n).

2) Le fait que la suite u(n+1)/u(n) tende vers quelque chose de strictement supérieur à 1.

Le point 2) implique que chaque facteur u(k+1)/u(k) est strictement supérieur à 1 à partir d'un certain rang. Et si on multiplie entre eux des réels strictement supérieurs à 1 une infinité de fois, le produit tend forcément vers +oo. C'est tout ce qu'il y a à comprendre.

Si les u(n+1)/u(n) ne tendait pas vers un réel strictement supérieur à 1, le raisonnement précédent était faux, on peut par exemple multiplier 1 une infinité de fois, on obtiendra toujours 1. Si on multiplie une infinité de fois entre eux des réels strictement compris entre 0 et 1, on tend vers 0.

Merci beaucoup pour après pris le temps de rédiger ceci.

Je vais me pencher son ton explication et essayer de bien comprendre.

Je me rends compte en tout cas, que le calcul de cette suite n'était pas si trivial que je le pensais

Encore merci.

A bientôt.

P.S : merci également aux autres participants bien sûr

[Nightmare]

ptitnoir > Oui et non. Le raisonnement précédent est simple en terme d'outils nécessaire dans la démonstration, on a juste besoin de la définition de la limite quasiment.

La formule de Stirling quant à elle est déjà un résultat bien plus difficile à obtenir.

[Anonyme]

@Nightmare

C'est pas un peu frapper avec un marteau sur une mouche (en fait je ne me souviens plus du dicton)

ptitnoir, je viens de voir ce message, tu vois une méthode plus "simple" ?

Merci.

[Nightmare]

Pour terminer, la méthode proposée par Cuati dans son deuxième post est aussi très intéressante. Cette fois-ci, on passe par les aires.

[Anonyme]

je pense qu'on peut (bien sûr si on la connait) énoncer et utiliser la formule de Stirling sans la démontrer

[Matt_01]

Ben j'suis un peu d'accord pour dire qu'il y a plus rapide.
Vu que le rapport tend vers une valeur supérieure à 1 et que les termes sont positifs, la suite est croissante à partir d'un certain rang. Si elle convergeait, le rapport tendrait vers 1. Donc elle ne converge pas, ce qui implique qu'elle diverge vers +inf (croissante et non bornée).

[Nightmare]

Pour ma défense, retirez le blabla, la démo que j'ai proposée prend 3 lignes. :lol3:

[Anonyme]

Ok, merci à tous ! Je crois que j'ai saisis :)