Limite d'une fonction trigonométrique

[Sora]

Lim (sinx-x)/x^3 lorsque x tend vers 0
et merci :we:

[Quidam]

Lim (sinx-x)/x^3 lorsque x tend vers 0
et merci :we:

Tu es en études supérieures ? Si oui, utilise le développement de sin(x) au voisinage de 0 ! Sinon, il faudra trouver une astuce pour pouvoir s'en passer !

[big-bang]

Salut ;

En utilisant la règle de l'Hôpital , on trouve :

Lim (sinx-x)/x^3 = -Lim(1-cosx)/3x²=-1/2.3=-1/6 . c'est juste pour ne pas tromper , c-à-d , si tu trouveras un autre résultat , ceci sera faux !!! :we: :we: :we: .

Si vous avez vu les D.L , alors tu développe sinx à l'ordre 5:

sinx=x-x^3/6+x^5/120. =====> sinx-x=-x^3/6+x^5/120 =====>

Lim (sinx-x)/x^3 =Lim(-1/6+x²/120)=-1/6.[SIZE=5][COLOR=Black]N.B: j'ai pas utilisé le reste qui admet 0 comme limite , écris le pour que ta réponse soit compléte. :++: :++: [/COLOR] [/SIZE]

[Zebulon]

Bonjour, sans utiliser la règle de l'Hopital, il suffit de développer sin(x) au voisinage de 0 comme te l'a suggéré Quidam.
Quel est son développement limité? Et à quel ordre vas-tu aller?
Zeb.

[Anonyme]

Ah je suis pas peu fière de ma trouvaille là :we:







Or:

(limite d'une fraction rationnelle)


(car en , tend vers )


Enfin, comme , par comparaison de limite, on en déduit donc que:






De plus, .

Donc









On en déduit donc que f(x) est paire.

Or, comme . De par la parité de f(x), on en déduit que:



Ainsi:



:we:

[Anonyme]

Ah je suis pas peu fière de ma trouvaille là :we:

Travaillons tout d'abord sur l'intervalle





(car supérieur à 0 sur )
Or:

(limite d'une fraction rationnelle)




(car x² tend vers en 0)

Enfin, comme , par comparaison de limite, on en déduit donc que:






De plus, .

Donc









On en déduit donc que f(x) est paire.

Or, comme . De par la parité de f(x), on en déduit que:



Ainsi:



:we:

[kaiser]

Bonjour

(limite d'une fraction rationnelle)


Ce que tu dis est faux car ceci n'est vrai qu'en l'infini !

Kaiser

[Anonyme]

Vi vi je retire tout ce j'ai dit je me suis quelque peu emporté :triste:

[Mikou]

sur ]0,1]
equivaut a
(notée f)
si tu montre que cette expression est positive linterval alors tu demontres la premier inegalite ( la seconde etant )
Pour cela tu peux par exemple deriver derivé 3 fois et conclure que 'f' est croissante, par prolongement elle admet donc un minimum en 0 lequel vaut 0, tu as donc bien

de la meme facon tu aurais montré la seconde inegalité
tu as donc

On utilise alors le th des gendarmes, et lon conclut que la limite de
en 0 ( par valeure superieure ) vaut -1/6 :happy3: