Limite d'une fonction

[MaximeRouche]

Bonsoir tout le monde,

Je suis en 1ère année en fac d'éco-gestion et je bloque sur un exercice de math.

On me demande de calculer la limite suivante :

lim (1+(1/x))^-x
x-->-;)

Je ne vois pas comment lever cette indétermination, pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir tout le monde,

Je suis en 1ère année en fac d'éco-gestion et je bloque sur un exercice de math.

On me demande de calculer la limite suivante :

lim (1+(1/x))^-x
x-->-;)

Je ne vois pas comment lever cette indétermination, pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

Salut,
On réécrit en et je te laisse voir pour la suite !

[jlb]

(1+(1/x))^-x = exp(-x*ln(1+1/x))

après plusieurs versions: dévéloppement limité de ln(1+1/x) ou limite f( avec identification avec nb dérivé de ln en 1) x*ln(1+1/x)=[ln(1+1/x)-ln1]/[1+(1/x) - 1]

[MaximeRouche]

[quote="Kikoo -;) x-->-;)

Que faire ensuite? Merci!

[Kikoo <3 Bieber]

Salut, merci de ton aide!

Je me rapproche de la solution finale, mais je n'y parviens toujours pas.

En suivant ce que tu m'as dit, j'obtiens :

lim e^(;).(ln(1))) = lim e^(;).0)
x-->-;) x-->-;)

Que faire ensuite? Merci!

On sait que

[Archibald]

Bonsoir, je propose une méthode beaucoup plus directe .

Or, . D'où,

La F.I nécessite d'opérer un changement de variable pour se ramener à , expression dont on connaît la limite.

Mais bon, ici, tu n'en as même pas besoin.

[MaximeRouche]

Bonsoir, je propose une méthode beaucoup plus directe .

Or, . D'où,

La F.I nécessite d'opérer un changement de variable pour se ramener à , expression dont on connaît la limite.

Mais bon, ici, tu n'en as même pas besoin.

Merci beaucoup, tes explications sont très claires.

Bonne soirée

[Black Jack]

Autrement :

f(x) = (1+(1/x))^-x

ln(f(x)) = -x.ln(1 + 1/x) = - ln(1 + 1/x) / (1/x)

lim(x --> -oo) ln(f(x)) = - lim(x --> -oo) [ln(1 + 1/x) / (1/x)]
est de la forme 0/0 ---> application de la règle de Lhospital

lim(x --> -oo) ln(f(x)) = - lim(x --> -oo) ((-1/x²)/(1+ 1/x))/(-1/x²)) = -lim(x --> -oo) [1/(1+1/x)] = -1

lim(x --> -oo) ln(f(x)) = -1

lim(x --> -oo) f(x) = e^-1 = 1/e

lim(x --> -oo) [(1+(1/x))^-x] = 1/e

:zen:

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir, je propose une méthode beaucoup plus directe .

Or, . D'où,

La F.I nécessite d'opérer un changement de variable pour se ramener à , expression dont on connaît la limite.

Mais bon, ici, tu n'en as même pas besoin.

La limite qui vaut le nombre de Néper n'est-elle pas un peu parachutée ?

[leon1789]

Remarque importante : ne jamais écrire sans avoir prouvée qu'elle existe !

[leon1789]

Remarque importante : ne jamais écrire sans avoir prouvée qu'elle existe ! D'une part, ça évite d'oublier de prouver son existence (of course !) et ça évite parfois de manipuler des limites qui n'existent pas et d'obtenir ainsi de fausses conclusions.

Contrairement à ce que l'on peut penser, ne pas écrire lim trop tôt n'est pas un problème, par exemple je réécris la preuve de Black Jack (sans vérifier les calculs) :

f(x) = (1+(1/x))^-x

ln(f(x)) = -x.ln(1 + 1/x) = - ln(1 + 1/x) / (1/x)

quand x tend vers l'infini, ln(1 + 1/x) et (1/x) tendent vers 0. On obtient donc une forme indéterminée 0/0. Regardons si la règle de l'Hôpital permet d'avancer :

(-1/x²)/(1+ 1/x) / (-1/x²) = 1/(1+1/x)
Ici, il est clair que le quotient converge vers 1, donc la règle s'applique et permet de conclure que

lim(x --> -oo) ln(f(x)) existe et vaut -1

lim(x --> -oo) f(x) = e^-1 = 1/e

lim(x --> -oo) [(1+(1/x))^-x] = 1/e



Le programme de lycée est mal fichu (encore une fois !) à ce niveau : les élèves prennent l'habitude de ne pas justifier l'existence d'une limite, et après c'est bien souvent trop tard pour corriger le tir.

[leon1789]

Remarque importante : ne jamais écrire sans avoir prouvée qu'elle existe ! D'une part, ça évite d'oublier de prouver son existence (of course !) et, d'autre part, ça évite parfois de manipuler des limites qui n'existent pas et d'obtenir ainsi de fausses conclusions.

Contrairement à ce que l'on peut penser, ne pas écrire lim trop tôt n'est pas un problème, par exemple je réécris la preuve de Black Jack (sans vérifier les calculs) :

f(x) = (1+(1/x))^-x

ln(f(x)) = -x.ln(1 + 1/x) = - ln(1 + 1/x) / (1/x)

quand x tend vers l'infini, ln(1 + 1/x) et (1/x) tendent vers 0. On obtient donc une forme indéterminée 0/0. Regardons si la règle de l'Hôpital permet d'avancer :

(-1/x²)/(1+ 1/x) / (-1/x²) = 1/(1+1/x)
Ici, il est clair que le quotient converge vers 1, donc la règle s'applique et permet de conclure que

lim(x --> -oo) ln(f(x)) existe et vaut -1

lim(x --> -oo) f(x) = e^-1 = 1/e

lim(x --> -oo) [(1+(1/x))^-x] = 1/e



Le programme de lycée est mal fichu (encore une fois !) au niveau de " existence de limite " : les élèves prennent l'habitude de ne pas justifier l'existence d'une limite, et après c'est bien souvent trop tard pour corriger le tir.

[Archibald]

La limite qui vaut le nombre de Néper n'est-elle pas un peu parachutée ?

A moins d'être en prépa, la valeur de cette limite est admise en général. De toute façon, la démonstration prend au maximum 3 lignes en posant

[Kikoo <3 Bieber]

A moins d'être en prépa, la valeur de cette limite est admise en général. De toute façon, la démonstration prend au maximum 3 lignes en posant

D'où l'intérêt de mon intervention