Limite projective

[barbu23]

Bonsoir à tous : :happy3:
Quelle est la definition d'une limite projective de morphismes ?
Je connais ce qu'est la limite projective d'un système projectif, par contre la limite projective d'une famille de morphismes, j'en ai jamais entendu parler !
Merci de votre aide ! :happy3:

[zerkel]

t'es à quel niveau d'étude? Parce que la limite projective d'une famille de morphismes pour moi c'est lié à la théorie des faisceaux... et donc si c'est vraiment ça je préfère te demander confirmation avant de fouiller dans mes archives.

[barbu23]

Oui, je connais la theorie des faisceaux et, algèbre homologique ... etc ! Enfin pas complètement ! :hum:
Merci de ton aide ! :happy3:

[zerkel]

bon du coup je regarde si je retrouve mon mémoire de m1...

[zerkel]

j'ai du mal à formuler une définition dans un cadre complètement général, tes morphismes vont de quoi dans quoi?
parce que aussi si bien c'est juste une histoire toute simple de prendre la limite de la famille et de la passer au quotient avec un diagramme commutatif

[yos]

C'est pas bêtement la limite projective des groupes qui vont avec les morphismes?

[Nightmare]

C'est pas bêtement la limite projective des groupes qui vont avec les morphismes?

Je suis d'accord, de toute façon pour parler de limite projective il nous faut une famille d'objets d'une catégorie et de flèches qui vont avec et dans ce cas on abrège "limite projective des objets "truc" pour les flèches "machin" " en "limite projective des flèches "machin"" où les objets sont alors sous-entendant.

Ici les objets sont les groupes et les flèches des morphismes de groupe.

[barbu23]

Re - salut : :happy3:
Désolé d'avoir mis un peu de temps avant de repondre !
Voiçi le texte où figure cette expression :
Soit une categorie admettant des limites projectives :
Soit un espace topologique.
Soit une base d'ouverts pour la topologie de .
Un préfaisceau sur à valeurs dans est la donnée d'une famille d'objets , associés à chaque et d'une famille de morphisme : définis pour tout couple d'éléments de tels que tels que : et si et dans tels que : .
Onpeut associer au préfaisceau un préfaisceau à valeurs dans : où parcourt l'ensemble ordonné pour l'inclusion , non filtrant en général, des ensembles tels que : car les forment un système projectif pour les avec et
En effet :
Si et sont deux ouverts de tels que : , on définit comme la limite projective ( pour ) des morphismes canoniques : , autrement dit l'unique morphisme qui, composé avec les morphismes canoniques donne les morphismes canoniques , la vérification de la transitivité des est alors immédiate. De plus, si , le morphisme canonique : est un isomorphisme permettant d'identifier ces deux objets.
Question :
L'expression concernée est celle écrit en gras caractère dans le texte çi dessus !
Merci de votre aide ! :happy3:

[barbu23]

Il y'a deux autres trucs que j'ai pas compris dans ce texte :
Pourquoi :" la transitivité de est alors immédiate"
Pourquoi : le morphisme canonique est un isomorphisme ?
MErci d'avance ! :happy3:

[Nightmare]

Salut !

Pour la limite projective, c'est bien ce qu'on expliquait avec yos.

Pour la transitivité, c'est la même chose que tes morphismes de restriction du préfaisceau de départ, il faut que et c'est évident par construction.

Pour voir pourquoi F'(U')->F(U) est un isomorphisme regarde la définition et ce qu'il se passe si U est dans B !

[barbu23]

Salut !

Pour la limite projective, c'est bien ce qu'on expliquait avec yos.

Pour la transitivité, c'est la même chose que tes morphismes de restriction du préfaisceau de départ, il faut que et c'est évident par construction.

Pour voir pourquoi F'(U')->F(U) est un isomorphisme regarde la définition et ce qu'il se passe si U est dans B !

Oui, mais ce que je comprends pas est comment une application : ( i.e : ) est une limite projective de morphismes ... etc parceque une limite projective est un objet et non un morphisme ! :mur:
Merci de votre aide !

[Nightmare]

Je pense en fait qu'encore une fois c'est un abus de langage et qu'on parle d'un homomorphisme de la limite projective.