Géométrie projective

[tulipe]

Bonjour, j'ai entendu dire qu'en géométrie projective deux droites sont toujours sécantes. Quid des droites parallèles ? Merci

[capitaine nuggets]

Bonjour, c'est aussi le cas : elles se rejoignent mais en l'infini !

[tulipe]

Merci pour cette réponse. Mais comment peuvent-elle se rejoindre, l'écart entre les droites est constant.
Deux suites numériques donc l'écart est constant ne convergent pas l'une vers l'autre même en l'infini, non ?
Alors comment peut-on dire que des droites parallèles se rejoignent en l'infini, j'ai du mal à comprendre ? Merci

[mathelot]

Il faut te mettre au milieu de deux rails de chemin de fer (sans te faire écraser) , on voit clairement qu'ils se rejoignent à l'horizon.

Remarque :la bonne définition du parallélisme de deux droites est qu'elles ont même direction(espace vectoriel) , et non pas que leur distance est constante

[tulipe]

Je suis d'accord mais ça n'est qu'une impression visuelle, c'est pas parce que deux suite semblent converger l'une vers l'autre que je vais dire qu'elles convergent effectivement.

Si elle ont même espace vectoriel et un point commun (l'infini) elles sont confondues, non ?

[lyceen95]

Si les conventions étaient les même en géométrie projective et en géométrie classique, on n'utiliserait pas 2 noms différents.
Quand tu fais du dessin et que tu dessines des perspective, tu choisis un point (souvent en dehors de la feuille) comme étant l'horizon, Et toutes les droites horizontales vont se rejoindre en ce point qui représente l'infiniment loin.
Tu auras en principe un premier point 'infini' pour l'axe des x et un autre pour l'axe des y (2 points de fuite)

Comme ici par exemple : https://www.youtube.com/watch?v=U0koWQ8v_MM&ab_channel=CommentDessiner

En géométrie projective, on considère que pour les points très loin sur l'axe des x se rejoignent. Visuellement, (z1-z0)/x tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Les droites z=z1 et z=z0 se rejoignent.

[tulipe]

D'accord donc c'est pas la même géométrie, ok c'est plus clair, je pensais que c'était la même mais simplement étendue à l'infini.

[lyceen95]

C'est différent de la géométrie classique, mais il y a quand même énormément de propriétés qui sont communes.
Le plan, c'est . En gros.
Mais, on peut prolonger , en y ajoutant un nombre 'problématique', l'infini.
Je vais noter ce nouvel ensemble (R + l'infini) (c'est une notation personnelle, il doit y avoir une convention)
La géométrie projective est définie sur ... et même sur ...

est une partie de ... quasiment la totalité de .

Toutes les règles de géométrie projective, si on les applique à au lieu de , ça devient les règles classiques de la géométrie.
Les différences, elles apparaissent dans la petite extension de l'univers. Uniquement dans cette petite partie là.

Deux droites parallèles n'ont aucun point en commun dans , ça reste vrai en géométrie projective. Le point où ces 2 droites se rejoignent n'est pas dans mais dans .

[tulipe]

est-ce que du coup on ne pourrait pas regrouper toutes les droites parallèles en une droite "projective" un peu comme une classe d'équivalence qui représente la direction de toutes ces droites parallèles ?

[lyceen95]

Dans la géométrie classique, on peut déjà considérer toutes les droites parallèles comme une classe d'équivalence.
C'est une propriété standard.
Si D1 // D2 et D2 // D3 alors D1 // D3 , etc etc ... toutes les propriétés pour définir une classe d'équivalence.

Et tout ça reste vrai en géométrie projective. Bien sûr.

[tulipe]

C'est vrai, j'y avais pas pensé. Et si l'infini est un point que l'on rajoute, alors il devient un point comme un autre du coup, on pourrait prendre une autre valeur que l'infini et lui faire jouer ce rôle d'infini ?

[lyceen95]

Euh, non, là tu pars je ne sais où.

Déjà, on n'ajoute pas un point mais plein de points, une infinité. (En admettant qu'on puisse parler de points, ce qui est un peu un abus de langage).
Au bout des droites horizontales, on ajoute un point, tout au bout... Un point unique pour toutes les droites horizontales.
Et pour les droites obliques, pareil.
Et pour les droites obliques, preque horizontales, pareil, on ajoute un point tout au bout.
Un point pour chacune des directions, ou chacune des classes d'équivalences de ton précédent message.

Tu parles de prendre un point existant ... et de le mettre en l'infini. Non.


Sur , on ne change strictement RIEN. sinon, le concept s'écroule. On n'enlève pas de point à pour le déplacer vers l'infini ...

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Je vais noter ce nouvel ensemble (R + l'infini) (c'est une notation personnelle, il doit y avoir une convention)
La géométrie projective est définie sur ... et même sur ...

Hum, non. Le plan projectif, ce n'est pas .
Il est vrai que la droite projective réelle, c'est . Mais le plan projectif, c'est le plan affine usuel auquel on ajoute une droite projective, la droite de l'infini. Les points de cette droite de l'infini correspondent aux directions de droite dans le plan affine. On peut repérer une direction de droite par sa pente (un nombre réel, ou alors pour les droites "verticales").

On peut voir
http://images.math.cnrs.fr/L-infini-est-une-droite-comme-les-autres.html
ou
http://images.math.cnrs.fr/Et-si-on-rajoutait-une-droite-a-l-infini.html

[GaBuZoMeu]

on pourrait prendre une autre valeur que l'infini et lui faire jouer ce rôle d'infini ?

Dans un plan projectif, on peut faire jouer à n'importe quelle droite le rôle de "droite de l'infini". C'est même un procédé assez commode de démonstration en géométrie : on peut "envoyer à l'infini des éléments d'une figure", et on raisonne sur la nouvelle figure où la propriété devient plus facile à démontrer. On peut par exemple démontrer ainsi de façon agréable le théorème de Pappus.

[lyceen95]

Oui, pas . ? ou indifférement.

[GaBuZoMeu]

Ni l'un ni l'autre n'aurait vraiment de sens géométrique. Le plan projectif n'est vraiment pas un produit cartésien.

[tulipe]

Oui quand je disais "valeur" c'était pour être raccord avec le mot "nombre" employé par lycéen95, mais je pensais bien à une droite.