Limite fonction indicatrice

[mehdi-128]

Bonsoir,

On considère la fonction indicatrice de sur .
1/ Montrer qu'elle n'admet pas de limite en aucun point.
2/ Montrer qu'elle n'a pas de limite en et

J'ai réussi la question 1 mais je bloque pour la 2

Soit
est dense dans donc il existe une suite d'éléments de qui converge vers . est dense dans donc il existe une suite d'éléments de qui converge vers .

Comme , on a :
Comme , on a :

On a montré que la fonction indicatrice n'admet pas de limite en tout point . Elle n'est pas continue en .

[LB2]

Bonsoir,

pour la 2. raisonne par l'absurde. L'astuce est d'utiliser que la fonction indicatrice ne prend que deux valeurs, 0 et 1, et doit donc sauter de 1 pour changer de valeur.

Si elle admettait une limite L en + l'infini, alors pour x assez grand, on aurait |1(x)-L| < 1/2. Donc la fonction indicatrice serait constante dans un voisinage de + l'infini : absurde

[mehdi-128]

Merci.

Au voisinage de on a :

Soit

Je ne vois pas où est la contradiction

[LB2]

Tu peux en déduire que la fonction indicatrice est constante au voisinage de + l'infini :
1) Montre par l'absurde que nécessairement L=0 ou L=1.
2) Montre que f est constante au voisinage de + l'infini

[mehdi-128]

@LB2
Cela donne :
Puis :
Mais je ne vois pas

Sinon je pense avoir trouvé en utilisant une autre méthode, la densité et les suites.
Limite en
admet une limite en si et seulement si toute suite qui tend vers tend vers . Par contraposée, si on trouve 2 suites qui ne tendent pas vers la même limite, la fonction n'admettra pas e limite en .
Soit
Soit d'éléments de qui converge vers . La suite diverge vers . La somme de 2 rationnels étant un rationnel, on obtient que les éléments de sont dans .
Soit d'éléments de qui converge vers . La suite diverge vers . La somme d'un rationnel et d'un irrationnel étant un irrationnel, on obtient que les éléments de sont dans .

Comme , on a :
Comme , on a :

Il existe 2 suites qui tendent vers tel que donc n'admet pas de limite en .

[Kolis]

Cela donne :
Puis :
Mais je ne vois pas

Toujours ton refus de faire un dessin :
Tu as simultanément !

[mehdi-128]

J'ai fait un dessin ça a l'air impossible d'avoir les 2 conditions réunies. La distance de l à 0 ne peut pas être inférieure à 1/2 pendant que la distance de l à 1 est inférieur à 1/2.

Mais je ne vois pas comment montrer que l=0 ou l=1 ...

[LB2]

La méthode de ton message de 3h26 fonctionne pour montrer que la fonction n'admet pas de limite en + l'infini (exhiber deux suites extraites qui convergent vers 2 limites distinctes)

Je te donnais une autre méthode. Pour montrer L=0 ou L=1, c'est la même idée : raisonne par l'absurde, si 1(x) tend vers L différent de 0 ou1, alors pour x assez grand, l'écart entre L et 1(x) sera strictement inférieur à min(L,1-L). Or 1(x) ne peut prendre que 0 ou 1 comme valeur : Contradiction. Donc L = 0 ou L = 1

[mehdi-128]

Mais pour pouvoir raisonner par l'absurde comment savez vous à l'avance qu'on aura ou ?

[mehdi-128]

Je n'ai pas compris ce passage : " si 1(x) tend vers L différent de 0 ou1, alors pour x assez grand, l'écart entre L et 1(x) sera strictement inférieur à min(L,1-L). Or 1(x) ne peut prendre que 0 ou 1 comme valeur : Contraduction. Donc L = 0 ou L = 1"

[mehdi-128]

Incompréhensible votre solution LB2.

C'est quoi l'intérêt de pondre une solution sans rien expliquer ?

[henryallen]

Bonjour,

De vous laisser y réfléchir un minimum je suppose, les éléments nécessaires étant déjà là ...

Supposons que 1(x) admette une limite l en .

En appliquant la définition de la limite pour , on trouve qu'il existe A réel tel que pour tout réel .

Or on peut trouver x supérieur à A tel que 1(x) = 0 et x supérieur à A tel que 1(x) = 1, donc on en déduit notamment que et que .

De |1 - l| < 1/2 on en déduit 1 - l < 1/2 donc 1/2 < l, et de |l| < 1/2 on en déduit l < 1/2.

C'est absurde, donc la fonction ne peut admettre une limite finie (ni infinie ...) en plus l'infini.

Le raisonnement utilisé est certes légèrement différent de celui de LB2, mais les idées sont les mêmes. Pour reprendre les points de sa démonstration (de manière non formelle):
- l = 0 ou l = 1, car sinon en prenant epsilon suffisamment petit, on aurait, à partir d'un certain rang, |1(x) - l| < epsilon et notamment 1(x) différent de 0 et de 1, ce qui est absurde.
-En reprenant la définition de la limite pour epsilon = 1/2 par exemple, on aurait, toujours à partir d'un certain rang, |1(x) - l| < 1/2, donc nécessairement 1(x) = l (car si l = 0, 1(x) ne peut être égal à 1, de même dans l'autre sens).

[LB2]

Incompréhensible votre solution LB2.

C'est quoi l'intérêt de pondre une solution sans rien expliquer ?

Ma solution est certes non formelle (il faut la rédiger avec les epsilon et la définition de la limite comme l'a fait henryallen) mais elle est parfaitement expliquée.
Reste à faire un dessin pour comprendre ce qui se passe et... réfléchir!

[fatal_error]

C'est quoi l'intérêt de pondre une solution sans rien expliquer ?

l'hopital qui se fout de la charité!

sur les traces de barbu23...

[mehdi-128]

Bonjour,

De vous laisser y réfléchir un minimum je suppose, les éléments nécessaires étant déjà là ...

Supposons que 1(x) admette une limite l en .

En appliquant la définition de la limite pour , on trouve qu'il existe A réel tel que pour tout réel .

Or on peut trouver x supérieur à A tel que 1(x) = 0 et x supérieur à A tel que 1(x) = 1, donc on en déduit notamment que et que .

De |1 - l| < 1/2 on en déduit 1 - l < 1/2 donc 1/2 < l, et de |l| < 1/2 on en déduit l < 1/2.

C'est absurde, donc la fonction ne peut admettre une limite finie (ni infinie ...) en plus l'infini.

Le raisonnement utilisé est certes légèrement différent de celui de LB2, mais les idées sont les mêmes. Pour reprendre les points de sa démonstration (de manière non formelle):
- l = 0 ou l = 1, car sinon en prenant epsilon suffisamment petit, on aurait, à partir d'un certain rang, |1(x) - l| < epsilon et notamment 1(x) différent de 0 et de 1, ce qui est absurde.
-En reprenant la définition de la limite pour epsilon = 1/2 par exemple, on aurait, toujours à partir d'un certain rang, |1(x) - l| < 1/2, donc nécessairement 1(x) = l (car si l = 0, 1(x) ne peut être égal à 1, de même dans l'autre sens).

Merci ! Je comprends mieux votre solution qui est bien plus simple à comprendre.

Je n'avais pas pensé à utiliser et du .

Comme on a : c'est trivial

[lyceen95]

J'ai vu plein de messages avec le nombre 1/2. Est-ce que ce ne serait pas plus clair, si au lieu de 1/2, on utilisait 1/100000 ?

[henryallen]

Je n'avais pas pensé à utiliser et du .

Comme on a : c'est trivial

Je songeais plutôt à utiliser , mais ça marche également oui.