Les suites : limites.

[AceVentura]

Bonsoir, une petite question d'analyse encore ! Si j'ai une suite de nombres réels qui est décroissante et a pour limite , alors , Comment le prouver ?
On sait qu'il existe tel que , ce pour tout epsilon strictement positif.
Par l'absurde, on suppose qu'il existe tel que donc que l'on prend pour epsilon dans la définition.
A partir du rang on trouve .

Après, je ne sais pas trop, j'ai l'impression de tourner en rond :/

[Nightmare]

Salut,

fais un dessin ! Si ta suite converge vers l, tous les termes de la suite se concentrent, à partir d'un certain rang, autour de l. Si la suite possède un terme qui lui est inférieur, il n'est alors par difficile de construire un autre terme supérieur au précédent, ce qui contredit la décroissance de la suite.

Edit : "un autre terme supérieur au précédent et d'un rang supérieur aussi évidemment."

[AceVentura]

J'ai fais le dessin ! Je voulais une démonstration formalisé en fait. S'il existe N tel que alors pour tout entier naturel p.
Je tente donc l'inégalité et je passe à la limite sur p pour obtenir .

Donc ?

[Nightmare]

Je t'incitais à faire un dessin non pas en guise de preuve mais en guise d'idée de preuve :lol3:

Sinon j'ai pas vraiment compris tes inégalités. Ce que je disais, c'est que si l'on a u(k) < l et que je note d=l-u(k), par convergence on va pouvoir trouver tous les termes de la suite à partir d'un certain rang dans ]l-d;l+d[. En particulier, tous ces termes sont supérieurs à u(k).

[AceVentura]

Euh, est décroissante.
On se donne , donc et donc .

Non ?

[Ben314]

J'ai fais le dessin ! Je voulais une démonstration formalisé en fait. S'il existe N tel que alors pour tout entier naturel p.
Je tente donc l'inégalité et je passe à la limite sur p pour obtenir .

Donc ?

ça, c'est parfaitement O.K.
Tu peut aussi dire que, s'il existait un alors, dans la définition de la limite, on pourait prendre ce qui conduit à une annerie...

[Doraki]

Il me semble que dès le début, t'y étais presque.

A partir du rang on trouve
Après, je ne sais pas trop, j'ai l'impression de tourner en rond :/

Or an est décroissante donc pour tout n, an <= a(N2) <= an.
Après, soit tu justifies qu'on peut avoir, en changeant N1, a(N2) < an ; soit tu dis qu'alors (an) est stationnaire et donc tend vers l = a(N2) < l.

[AceVentura]

Merci à vous deux.