Les modes de convergences

[othoo]

bonjour, j'ai une question sur les series de fonctions , je veux savoir comment peut on pratiquement montrer qu'une serie de fonctions ne converge pas uniformément sur une partie A, la même question pour montrer que la convergence n'est pas normale merci d'avance

[fahr451]

bonjour

le plus simple est que tu poses un problème concret
en résumé

cv normale :
sigma fn converge normalement ssi sigma supI fn I cv

pour montrer la cv majorer l fn(x) l indépendamment de x par a(n) avec sigma a(n) convergente

pour montrer la non cv normale calculer supI fn l et voir que la série diverge


cv absolue

pour montrer la cv absolue
montrer que le sup des restes Rn(x) de la série tend vers 0 qd n tend + infini

pour montrer la non cv absolue
contruire une suite x(n) telle que Rn( x(n) ) ne tend pas vers 0

[mathelot]

comment peut on pratiquement montrer qu'une serie de fonctions ne converge pas uniformément sur une partie A

c'est tout simple. Le critère de Cauchy uniforme n'est pas vérifié. Ecrivons ce critère uniforme:


Il suffit d'écrire sa négation pour affirmer que la convergence n'est pas uniforme sur A.



Le critère précédent est général et englobe tous les cas possibles !
Ceçi dit, les cas simples où il n'y a pas convergence uniforme sont les suivants:
- il n'y a pas convergence simple
- il y a convergence simple mais les fonctions sont continues et leur limite n'est pas continue.

Si tu as déterminé la limite des sommes partielles , il suffit de montrer que:
ne tend pas vers zéro quand n tend vers l'infini.
si A est compact, ce sup est un max atteint en au moins un point de A et tu peux regarder l'évolution de la suite pour voir si elle a pour limite zéro.
De plus A étant compact, on peut supposer convergente
vers quitte à extraire une sous-suite. Si la limite S n'est pas continue, c'est fini, comme on l'a vu précédemment, sinon et il reste à étudier la quantité .



:king2:

[fahr451]

la négation du critére de cauchy uniforme comme outil pratique ...

[mathelot]

la négation du critére de cauchy uniforme comme outil pratique ...

louis-augustin Cauchy l'utilisait fréquemment ! pratique = mathématiquement efficace.

Prenons un exemple:

pour monter que la convergence n'est pas uniforme, on regarde:

Le sup sur [0;1[ de cette différence reste infini quelque soit n, la convergence n'est pas uniforme sur [0;1[ mais uniforme sur tout compact :doh:


Pour ce qui est de la convergence normale, on ne démontre jamais qu'il n'y a pas convergence normale. On démontre la convergence normale si on s'aperçoit que c'est le cas. En fait la convergence normale est utilisée comme une condition suffisante de convergence uniforme. :zen:

[fahr451]

ce n'est pas le critère de cauchy uniforme cela

c'est que le reste ne tend pas uniformément vers 0

[mathelot]

ce n'est pas le critère de cauchy uniforme

oui, tout à fait. il faut que je trouve un exemple où le critère de cauchy uniforme est vraiment ... pratique, bah, par exemple, pour monter que la convergence normale d'une série entraine sa convergence uniforme.

[fahr451]

un exemple pour l étude au bord du disque de convergence d'une série entière


R = 1 avec sigma an qui cv de somme S
on montre que

f(x) = sigma an x^n tend vers S quand x->1-

pour cela on utilise le critère d e cauchy uniforme en faisant une transformation d 'abel


ce n'est pas si fréquent...

[mathelot]

merçi fahr, ça va me permettre de réviser le critère d'Abel.