Lemme th. Cantor-Bernstein

[adexvectorquantic]

Bonjour,

J'ai compris la démonstration du lemme préliminaire du théorème de Cantor-Bernstein (présent dans cet article Wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... -Bernstein) mais je n'en comprends pas vraiment l'énoncé. Le voici : "si est une application injective d'un ensemble vers une de ses parties, , alors il existe une bijection de vers ".

Je me demande si est une application définie sur mais seulement injective sur l'ensemble image (c'est-à-dire que ) ? C'est à dire qu'il serait tout à fait possible qu'il existe tels que n'implique pas .

Il s'agit de ma vision du lemme, mais j'aurais aimé savoir si celle-ci est bonne.



Merci,
Très bonne journée à vous.

[SuperPoule]

Bonjour,
Je ne suis pas sûr de comprendre ta question/remarque ?
Dans le lemme auquel tu fais référence, on a qui est injective avec et , donc fatalement la restriction de à est injective aussi...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
L'interprétation de @SuperPoule n'est pas bonne : l'image de n'est pas forcément .

L'hypothèse de l'énoncé est que est une application injective (et pas a priori surjective) de dans une partie de . On a donc , et bien sûr donne une bijection de sur . La démonstration construit alors une bijection de sur

[SuperPoule]

Bonjour GaBuZoMeu,
Oui, effectivement, on a pas besoin de , Merci !
Pour revenir au post de adexvectorquantic, je ne suis toujours pas certain d'avoir vraiment compris sa question...

[adexvectorquantic]

Bonjour,

Je comprends, donc mon interprétation était fausse.

Si je retraduis la prémisse du lemme ( est une application injective d'un ensemble vers une de ses parties, ) je peux retraduire cela en disant : " est définie sur , à valeurs dans et est injective sur tout son domaine ()".

Je comprends mieux en lisant votre réponse GaBuZoMeu, garder n'a pas beaucoup d'intérêt bien que soit bijective de vers (car n'est qu'un simple sous-ensemble de ) . Tout l'intérêt est de trouver une autre application (appelée dans la démonstration) qui est bijective de vers . a plus de valeur à nos yeux car c'est le sous-ensemble de étudié.

Merci pour vos réponses.
Très bonne soirée à vous.