Ker(f) application.

[Jjl]

Bonjour,
J'ai fais cet exercice et je voudrais savoir si ce que j'ai fais est bon:
Soit f : R^3 ;) R
2 définie par f(x, y,z) = (4x ;) y,;)x + 2z)
1. Montrer que f (.) est linéaire.
2. Déterminer ker(f), en donner une base.

Et en 1) j'ai écris:
il faut prouver que:
f(u+v)=f(v)+f(u) avec u=(x,y,z) v=(x',y'z') donc u+v=(x+x',y+y',z+z') et f(x+x',y+y',z+z')= ((4(x+x')-(y+y'),-(x+x')+2(z+z'))= ((4x-y)+(4x'-y'),(;)x +2z)+(;)x' + 2z')) = (4x-y,-x+2z)+...=f(x,y,z)+f(x',y',z').

De plus ;)u=;)(x,y,z)=(;)x,;)y,;)z) et f(;)x,;)y,;)z)= (4;)x ;) ;)y, -;)x + 2;)z) =;)f(x,y,z) donc f(x,y,z) est linéaire.
2) Pour déterminer Ker(f) il faut résoudre ce système:
{4x ;) y=0=>4x=y
{;)x +2z=0 =>x=2z et z=8y. Donc Ker(f)={(1x,4x,x/2)}= {(2z,8z,z)} et une base de Ker(f) ça pourrais être {(1,4,1/2)} ou {(2,8,1)}.

[bentaarito]

Bonjour,
J'ai fais cet exercice et je voudrais savoir si ce que j'ai fais est bon:
Soit f : R^3 R
2 définie par f(x, y,z) = (4x y,;)x + 2z)
1. Montrer que f (.) est linéaire.
2. Déterminer ker(f), en donner une base.

Et en 1) j'ai écris:
il faut prouver que:
f(u+v)=f(v)+f(u) avec u=(x,y,z) v=(x',y'z') donc u+v=(x+x',y+y',z+z') et f(x+x',y+y',z+z')= ((4(x+x')-(y+y'),-(x+x')+2(z+z'))= ((4x-y)+(4x'-y'),(;)x +2z)+(;)x' + 2z')) = (4x-y,-x+2z)+...=f(x,y,z)+f(x',y',z').

De plus u=;)(x,y,z)=(;)x,;)y,;)z) et f(;)x,;)y,;)z)= (4;)x y, -;)x + 2;)z) =;)f(x,y,z) donc f(x,y,z) est linéaire.
2) Pour déterminer Ker(f) il faut résoudre ce système:
{4x y=0=>4x=y
{;)x +2z=0 =>x=2z et z=8y. Donc Ker(f)={(1x,4x,x/2)}= {(2z,8z,z)} et une base de Ker(f) ça pourrais être {(1,4,1/2)} ou {(2,8,1)}.

Je ne suis pas d'accord pour ker(f), pourquoi z =8y? c'est plutot y = 8z
sinon le reste me paraît correct

[Jjl]

Je ne suis pas d'accord pour ker(f), pourquoi z =8y? c'est plutot y = 8z
sinon le reste me paraît correct

Oui oui y=8z,c'est la fatigue.
Ensuite si je ne me trompe pas, Ker(f)= Vect{(1x,4x,x/2)}= Vect{(2z,8z,z)} et une base de Ker(f) ça pourrais être {(1,4,1/2)} ou {(2,8,1)}.

[bentaarito]

On écrit plutot ce qui est la meme chose que

[Jjl]

On écrit plutot ce qui est la meme chose que

Ok dac,merci pour ton aide