Justification d'un isomorphisme

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 18:16

Salut
En considérant E un ev et F un sev de E, et G un sev de L(E)
Au cours d'un exercice je suis arrivé au résultat suivant :

Je veux alors dire que G est isomorphe à L(E,F) seulement je n'arrive pas à bien exhiber un tel isomorphisme.
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît??

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 18:40

Salut,

je ne vois pas pourquoi G serait isomorphe à L(E,F) ! Il est inclus dedans, c'est sûr, mais a priori on ne peut rien dire de plus.

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 18:50

Nightmare a écrit:Il est inclus dedans, c'est sûr,

Je ne pense pas qu'il y a une relation d'inclusion entre ces deux ensembles puisque chacun contient des applications qui ont un ensemble d'arrivée différents. (E et F)

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 18:52

Ben, preuve que non, tu as montré que l'ensemble d'arrivé des éléments de G est inclus dans F.

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 19:00

oui mais on a une équivalence. Si l'image appartient à F alors u est dans G.
Au fait si pour tout élément u de L(E,F) je lui associe l'élément v de L(E) tque

. Cette application ne serait pas un isomorphisme ??

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 19:04

Imaginons que Im(u)={0} (qui est bien inclus dans F) pour tout éléments de G (bon du coup, c'est pas trop difficile de décrire G), je vois mal comment on pourrait avoir G isomorphe à L(E,F) !

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 19:07

euh je pense que je dois ajouter une condition qui est dans l'exo : u doit être non nul. (désolé Nightmare)
Avec ça est ce que ça marche ??

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 19:09

Non, c'est toujours le même problème.

E est un sev de E, par définition,

et rien ne dit que

!

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 19:13

oui mais il va falloir démontrer cette équivalence qui n'est pas toujours vraie.
D'ailleurs je ne vois pas pourquoi tu as écrit "par définition".

par **Doraki** » 31 Aoû 2010, 19:36

Pourquoi tu n'arrives pas à exhiber l'isomorphisme ?
T'as trouvé la bonne application de L(E,F) dans G.
Il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est injective et surjective,
ou alors montrer qu'elle a une réciproque.

Sinon, on est tenté de dire qu'on a un morphisme injectif i : L(E,F) -> L(E).
(celui que t'as exhibé, t'as pas montré que c'est injectif mais ça se fait en 0 lignes)
On doit alors simplement montrer que G = Im i.
(tu as montré que Im i est inclus dans G, il reste à montrer que G est inclus dans i).

Et quand on a un morphisme injectif comme ça, personne t'embêtera si tu décides de dire que L(E,F) est un sous-espace vectoriel de L(E), que tu as une vraie inclusion.

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 19:39

Je pense que je dois formuler l'exercice pour être plus clair:
On se place dans E un Kev de dimension finie et f un endomorphisme de E. A celui-ci on associe l'application

de L(E) définie par

. Ensuite pour

valeur propre de f, on montre que u est vecteur propre de

associé à

ssi

.
On déduit alors que les valeurs propres de

sont exactement les valeurs propres de f.
Après on demande de calculer la dimension du sous espace propre de

associé à

.
C'est là où je veux dire que cet espace est isomorphe à

Est ce que c'est correct maintenant ??

par **euler21** » 31 Aoû 2010, 19:42

@ Doraki
Oui je pense que mon application fait bien l'affaire. C'est juste que Nigtmare semblait ne pas confirmer ce que je disais.

par **Nightmare** » 31 Aoû 2010, 19:49

Ok, je n'avais pas compris le sens "<=" comme il le fallait, au temps pour moi.

par **alavacommejetepousse** » 01 Sep 2010, 22:41

Nightmare a écrit:Ben, preuve que non, tu as montré que l'ensemble d'arrivé des éléments de G est inclus dans F.

humhum

je rejoins euler 21 (le premier post)

je ne vois comment une application de E ds E serait egalement une application de E dans F

il existe une application de G ds L(E,F) qui a u associe sa restriction
(pas lu apres les trois premiers posts)

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