Justification mathématique de la multiplication

[alice11]

bonjour a tous,
je suis professeur des ecoles stagiaire et je dois presenter une seance de calcul mental sur la multiplication.
J'ai choisi d'aborder une technique plutot ludique : il s'agit de retrouver les resultats des tables de 5 à 9 en s'aidant de ses mains.
Voici un exemple : 6 x 7
Je plie un doigt sur ma main gauche car 6, c'est un au - dessus de 5, sur ma main droite je plie deux doigts car 7 c'est 2 au-dessus de 5.
Je multiplie ensuite par 10 les doigts que j'ai baissé, soit ici 3 x 10 = 30
Je multiplie entre uex les doigts qui sont restés levés, soit 4 x 3 = 12
J'additionne ensuite les deux résultats : 30 + 12 = 42.

Je retrouve donc le résultat de ma multiplication de départ !
vous pouvez essayer avec d'autres multiplications au- dessus de 5 (8 x 9 ; 9x 9 etc ) ça marche à chaque fois !

Petit probleme, je suis incapable de justifier mathématiquement cette technique pour montrer qu'elle fonctionne bien avec tous les nombres au-dessus de 5 ...

Avis aux matheux : Pourriez - vous m'aidez svp ?

En vous remerciant par avance,
bisous à tous et bonnes fêtes !!
Alice

[Zebulon]

Bonsoir,
en effet ça marche quels que soient x et y entiers compris entre 5 et 10. Prouvons-le:
soit x=5+a et y=5+b (a et b des entiers compris entre 0 et 5). On veut calculer x*y c'est-à-dire (5+a)*(5+b) ce qui donne en développant 25+5a+5b+ab. Jusqu'ici, ce n'est que du calcul.
Votre méthode est d'abaisser a doigts de la main gauche et b doigts de la main droite, de calculer 10 fois la somme des doigts abaissés et d'y ajouter le produit du nombre de doigts levés à droite par le nombre de doigts levés à gauche;
on a: nombre de doigts abaissés à gauche=a, nombre de doigts abaissés à droite=b, donc nombre total de doigts abaissés=a+b,
d'autre part, nombre de doigts levés à gauche=5-a (car au départ il y en a 5 levés et on en abaisse a), nombre de doigts levés à droite=5-b (pareil que pour la main gauche mais avec b doigts abaissés) donc le produit du nombre de doigts levés à droite par le nombre de doigts levés à gauche est (5-a)*(5-b) donc le calcul que vous effectuez par votre méthode est le suivant:
10*(a+b)+(5-a)*(5-b) qui est égal, en développant, à 10a+10b+25-5a-5b+ab=25+5a+5b+ab.
On a donc bien 10*(a+b)+(5-a)*(5-b)=(5+a)*(5+b)=x*y et c'est prouvé!
Bonne astuce! :lol4:
A bientôt,
Zeb.

[sept-épées]

Excellente trouvaille en effet !

Pour ceux qui connaissent, je crois que c'est à peu près le principe de la multiplication "à la Karatsuba", qui est un algorithme performant pour multiplier entre eux des grands nombres, dites-moi si je me trompe.

Je trouve ça très fort, en tout cas, d'avoir trouvé ce truc sans connaître beaucoup de maths!

[Zebulon]

Bonsoir,
Alice, connaissiez-vous ce "truc" parce qu'on vous l'a enseigné ou parce que vous l'avez remarqué? Ma mère est professeur des écoles et le connaissait par un livre, sans en connaître la démonstration. Moi qui fais des maths, je vous félicite d'avoir eu la curiosité de chercher la justification (contrairement à ma mère, je crois que je lui apprendrai un jour sinon je gronderai la maîtresse!).
Je pense que c'est du niveau CE2, non? Désirez-vous d'autres petites astuces de calcul mental, mais d'un niveau plus élevé, avec leur justification bien sûr, j'y tiens! Ce serait plutôt du niveau CM2.
A bientôt,
ZeB.