Jauge d'un convexe

[nonam]

Bonjour,

je suis sur un exercice sur la jauge d'un convexe, et je n'arrive pas à me tirer d'une question.
On considère K un compact convexe d'un espace vectoriel normé E, contenant 0 comme point intérieur. Et on définit la jauge de K par p(x)=inf {a>0 ; x/a € K}, pour x dans E.

Là où je bloque, c'est pour montrer que si x est sur la frontière de K, alors p(x)=1 (ok pour la réciproque, je m'en suis sortie)

J'ai montré que p(x);) 1 ssi x est dans K. Mais ce que je n'arrive pas à montrer, c'est que si p(x)<1, alors x est dans l'intérieur de K.
En utilisant le fait que p est continue, ce n'est pas bien compliqué, mais le souci c'est que dans les questions qui suivent, il est demandé de montrer que p est continue (et même lipshitzienne)... Du coup, j'imagine qu'il y a plus simple que d'utiliser la continuité de p, mais je ne voit pas, et une aide serait bienvenue :happy3:

[Doraki]

Il faut que tu te serves du fait que 0 est dans l'intérieur de K, et que K est convexe.

[nonam]

oui, j'ai bien un peu cherché de ce côté-là.
Si la boule ouverte B(0,r) est incluse dans K, et si p(x)<1, je suspecte la boule B(x,r(1/p(x)-1)) d'être incluse dans K (avec un dessin de l'enveloppe convexe de {x/p(x)} et B(0,r) ). Mais je ne voit pas comment montrer que c'est effectivement le cas...

[Doraki]

Tout à fait (sauf pour l'expression du rayon).

On a une boule de centre 0 de rayon r, qui est incluse dans K.
On a un point y = (x/p) qui appartient à K.
La convexité de K permet de montrer que la boule de centre p*y = x et de rayon (1-p)*r > 0, est toujours incluse dans K.

(parceque si a et b sont dans K, a*p + (1-p)*b est dans K)

[nonam]

ah oui en effet, ça marche très bien comme ça. Merci beaucoup.

Et je me suis effectivement trompée dans l'expression du rayon (je sais même plus appliquer le théorème de Thalès, c'est du joli...)