Isomorphisme entre E et E**

[Obito31]

Bonjour à tous
Voilà je suis nouveau sur le forum donc veuillez m'excuser à l'avance si ce que je dit n'est pas clair ou pas rigoureux ou bien qui n'a carrément aucun sens

Voilà j'ai commencer à étudier les espace duaux et je suis pas très alaise avec les isomorphisme.

Dite moi si ce que je dit est bon ou bien c'est n'importe quoi

Alors je définie E de dimension fini et son bidual E** et je pose B=(e1,...,en) une base de E et B*=(e1*,...,en*) la base dual associer à B
Soit x=Σxi.ei un élément de E et je définie l'application lineaire u : E-->E** , par u (x)=Σxi.u (ei) = Σxi.ēi où ēi élément de E** défini par ēi (f)=ai ( i-eme coordonner de f (éléments de E*) dans la base dual associé à B )
u est injectif : u (x)=0 => Σxi.ēi=0
Pour tout f appartenant à E* on a Σxi.ēi (f)=0 en particulier si f=ej* alors ēi (ej*)=(delta)ij et donc xi=0 => ker (u)={0}.
Et aussi dimE=dimE** donc les 2 espace son isomorphe.
Est-ce juste ? Et si oui est-ce canonique ? ( pourriez vous aussi m'expliquer c'est quoi un ismorphisme canonique avec des exemples simple si possible je sait que c'est un isomorphisme qui ne dépend pas de la base mais je n'arrive pas à voir ce que c'est.. car pour moi un ismorphisme dépend toujours de la base, y a quelque chose ou des choses que je n'ai pas saisi)
Je vous remercie de m'avoir lu et puisse quelqu'un me réponde merci^^

[capitaine nuggets]

Salut !

Je pense que tu te compliques un peu la vie.
Lorsque tu as un -espace vectoriel de dimension mettons, il n'est pas très dur de montrer que et son dual sont isomorphes : il suffit de considérer une base de et la base des formes linéaires sur : définies par , pour tout . Il suffit pour cela de considérer l'application définie par , si se décompose sous la forme . On peut donc montrer que est injective et par un argument de dimension, on en déduit que Ensuite, par définition, donc si alors d'où .

@+

[Obito31]

Salut et merci pour ta réponse

Au fait ma question était un peu maladroite je voulais savoir si je peut définir un isomorphisme comme sa et est ce qu'il est correct ? Je sait que c'est ce compliquer la vie mais c'est pour voir si j'ai bien compris.
L'isomorphisme que ta définie c'est celui qui est sur tout les bouquins mais est-ce que on peut trouver un autre ismorphisme qui marche aussi ?
Et aussi on dit qu'il nexiste pas d'isomorphisme canonique entre E et E* alors qu'il en existe un entre E et E**
L'isomorphisme que j'ai choisi et til canonique ?

(Tu m'excuseras si ce que je dit n'a pas de sens où bien n'ai pas dutout rigoureux il y a beaucoup de notion qui m'échappe )

Merci

[Ben314]

Salut,
A priori, non : l'isomorphisme que tu as construit et tout sauf "canonique" vu que (à priori) il dépend du choix de la base de E, comme pour l'isomorphisme entre E et E* (en fait si on regarde de très prés les calculs, je pense qu'il ne dépend pas de la base, mais ça reste à démontrer).

Et l'isomorphisme "canonique" de E dans E** que tout le monde considère, il est infiniment plus simple : c'est celui qui à un vecteur associe la fonction définie par pour tout .
Vérifie qu'il s'agit bien d'un morphisme d'e.v. puis qu'il est effectivement bijectif.

Et ce morphisme est clairement "canonique" vu qu'il ne dépend... de rien du tout et qu'il est on ne peut plus "naturel" : on peut le considérer même si E est un espace vectoriel absolument quelconque (i.e. même si E est de dimension infini). Par contre, en dimension infini, ce n'est pas forcément un isomorphisme.

[Obito31]

Salut ben et merci pour ta réponse

Au faite c'est sa que j'ai pas compris car pourquoi dans L'isomorphisme entre E et E* en s'intéresse à la base en décompose la vecteur x en x=Σxi.ei et la on lui applique l'application lineaire qui fait qu'on s'intéresse qu'au élément de la base
Mais avec celui de E dans E** non en prend direct le vecteur x..
Par linéarité de l'application en devrai s'intéresser qu'au base.. je suis perdu

Et pour montrer que c'est un morphisme d'e.v
Alors soit x,y appartenant à E et a appartenant à K
V (x+ay)=0 (x+ay), élément de E** comme E** est l'ensemble des application de E* dans K alors 0 (x+ay)(f)=f (x+ay)=f (x)+a.f (y)=V (x)+a.V (y)
Est-ce bon ?

Ps: le (x+ay) à coter du 0 est un indice

[Ben314]

Oui, concernant la linéarité, de a->theta_a c'est bien ça.
Sinon, concernant le "pourquoi" on utilise une base pour passer de E à E* et pourquoi c'est pas la peine si on va directement de E à E**, je sais pas trop quoi te dire, à part que... ça devient naturel..
En dimension infini, par exemple, on a assez souvent des espaces E qui ne sont pas isomorphe à leur dual E*, mais qui par contre sont effectivement isomorphe à leur bidual E**.

[Obito31]

Ah nickel merci ben
Par contre je suis toujours très confu sur le faite que L'isomorphisme dépend de la base pour E dans E* mais plu pour E dans E**.. Je pense que c'est le faite que pour moi si on applique V à x par linéarité de V on doit forcément avoir V (x)=(sigma)xi.V (ei)
Parce que pourquoi pas définir une application de E dans E* et dire que U (x)=x*, où x* et définie de tel sorte que x*(y)= coordonnées de y suivant le vecteur x..

[Ben314]

Parce que pourquoi pas définir une application de E dans E* et dire que U (x)=x*, où x* et définie de tel sorte que x*(y)= coordonnées de y suivant le vecteur x..

Pour une raison simple, c'est que ça ne veut rien dire de parler de "coordonnées suivant un vecteur" :
Si on prend X=(3,5) dans R², alors dans la base canonique (e1,e2) les coordonnées de X c'est 3 et 5, mais les coordonnées de ce même vecteur X dans la base (e1,u), c'est 0 et 1. Ça te montre que dans ces deux bases qui ont le même premier vecteur (à savoir e1), les deux coordonnées sont différentes (3 et 5 d'un coté et 0 et 1 de l'autre) et donc qu'on ne peut pas parler de "la coordonnée de X suivant le vecteur e1" sans savoir qui est le deuxième vecteur de la base (et c'est parfaitement normal vu que c'est ce deuxième vecteur qui va dire dans quelle direction on projette sur l'axe portant e1)

Tu verra plus tard que si on rajoute une structure supplémentaire à l'espace vectoriel E, à savoir un produit scalaire, alors il y a moyen de parler d'un truc qui est plus ou moins "la coordonnée de y suivant x" et qui en fait est le produit scalaire de x avec y. Et dans ce cas (i.e. lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire) alors on a bien un isomorphisme "canonique" entre E et son dual E* (en dimension finie).
Mais si E n'est muni d'aucune structure autre que celle d'espace vectoriel, alors il n'y a pas d'isomorphisme "canonique", mais des tas d'isomorphismes dont aucun n'est "remarquable" par rapport aux autres.

[Obito31]

Ahhh mais oui c'est vrai ! Je suis bête !
Donc si j'ai bien compris ils n'y a pas d'isomorphisme car comme une formes lineaire mesure la coordonner d'un vecteur suivant un élément d'une base et non pas d'un seul vecteur
Donc l'application que j'ai définie dépend d'une base de la ou je projete donc elle n'est pas dutout canonique
Par exemple si à x j'associe x* où x*(y)=(sigma)yi cette appliaction dépend aussi de la base ou je définie y donc si je change de base je change d'application
Ai je bien compris ?

Ah d'accord mais le produit scalaire et une forme bilineaire et non une forme linéaire donc comment relier E et E* ?

[Ben314]

Oui, c'est ça : si tu change de base, ça change d'application.
Et ça signifie aussi (surtout ?) que la notation x*(y) n'est pas super astucieuse vu que le réel x*(y) ne dépend pas uniquement de x et de y, mais en fait il dépend de toute la base dont fait parti le vecteur x.
Donc on ne peut pas parler du "dual d'un vecteur x", mais uniquement de "la base duale d'une base donnée".

Sinon, justement, le fait qu'un produit scalaire soit bi-linéaire, ça te dit que, pour tout vecteur x de E fixé, l'application : y -> <x|y> (produit scalaire) est une forme linéaire, c'est à dire un élément de E*.
Et donc x -> est une application (qui est bien linéaire) de E dans E* et c'est elle qui fournit l'isomorphisme "canonique" de E dans E* (encore qu'il n'est "canonique" que si tu as un seul produit scalaire sur E, mais il y a des cas où il est utile d'avoir plusieurs produits scalaires différents sur le même espace...)

[Obito31]

Ahh d'accord merci ben ^^ au fait comme les forme linéaire dépende de la base on sait que la matrice d'une forme linéaire est [f (e1),...,f (en)] donc toute appliaction qui va de E dans E* dépend forcément de la base si on change de base on change de forme linéaire et donc on change d'application ?

Ahhhh oui je vois sa devient un élément de E* si on fixe x ou y d'accord ^^ et donc la l'application ne dépend plu de la base car on s'intéresse au coordonnées de x et de y indépendamment de leur base c'est à dire on les regarde dans la base canonique c'est bien sa ?

[Ben314]

Non, les formes linéaires, elle ne dépendent pas de la base : c'est leur matrice qui dépende de la base.
Ce qui va dépendre de la base, c'est la façon dont tu va associer à un vecteur de E une forme linéaire de E*, c'est à dire la bijection que tu va choisir pour aller de E dans E*. Mais que ce soit les élément de E ou ceux de E*, il ne "dépendent" de rien du tout.

Sinon, en ce qui concerne le produit scalaire de x et y, on les regarde dans aucune base : on regarde juste le produit scalaire de x et de y qui est évidement indépendant d'une quelconque base.