Isometrie

par **ludo56** » 30 Nov 2009, 16:34

Bonjour,

Je me demandais si on pouvait parler d'isométrie pour une application qui n'est pas un endomorphisme, du style f:E-->F avec E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Je ne trouve pas de référence concernant ce sujet

Merci d'avance!

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 16:40

Salut !

J'ai envie de dire que oui, pourquoi qu'ils soient munis de la même structure (préhilbertienne, Hilbertienne, métrique ou autre)

par **ludo56** » 30 Nov 2009, 16:52

Ok, je penses aussi qu'il n'y a pas de raisons.. Merci :++:

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 16:53

Je voulais bien sûr dire "pourvu" au lieu de "pourquoi" !

par **ludo56** » 30 Nov 2009, 16:59

Oui,je m'en était douté!

par **yos** » 30 Nov 2009, 20:12

Une isométrie est forcément linéaire. C'est pas dur à prouver.

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 20:14

yos a écrit:Une isométrie est forcément linéaire. C'est pas dur à prouver.

Salut yos :happy3:

Certes, mais je crois (en tout cas c'est en ce sens que j'ai répondu) que la question se réfère plus au "endo" qu'au "morphisme" :happy3:

par **yos** » 30 Nov 2009, 20:18

Oui t'as raison. C'est vrai que c'est pas courant.

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 20:20

En fait ce n'est pas courant pour les isométries vectorielles, mais il ne me semble pas choquant de parler d'isométrie affine entre deux espaces Euclidien distincts.

par **alavacommejetepousse** » 01 Déc 2009, 07:32

yos a écrit:Une isométrie est forcément linéaire. C'est pas dur à prouver.

bonjour

en fait non

par **yos** » 01 Déc 2009, 18:47

J'étais de E dans E. Et là je vois pas le problème.

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 19:18

Je me demande si votre problème..... c'est pas la définition.

Si E et F sont des E.V.N. et f:E->F linéaire, pour dire que f est une isométrie, on peut demander que
1) |f(x)|=|x| pour tout x (c'est le plus "logique" structurellement parlant)
2) |f(x)-f(y)|=|x-y| pour tout x,y (ca a le coté logique que c'est la notion d'isométrie pour la distance associée à la norme)

Si f est linéaire, on s'en fout : c'est la même chose, mais si on ne suppose pas f linéaire, je me demande si on a pas (à vérifier) :
2) => f affine
1) n'implique pas f linéaire ni affine

C'est peut-être ca votre problème....

(ce dont je suis sûr c'est que 2) n'implique pas f linéaire : prendre une translation)

par **kazeriahm** » 01 Déc 2009, 23:00

On peut parler d'isomètrie sur des espaces mètriques (mètrie...) non ? d(f(x),f(y))=d(x,y)

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:12

yos a écrit:J'étais de E dans E. Et là je vois pas le problème.

C est vrai si f est surjective, ou si la norme est strictement convexe ( et c est deja pas si facile a prouver-c est même unexo interessant). Sinon,ya effectivement des contrexemples..

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 23:18

C'est le même genre de preuve que le "th fondamental" qui dit qu'une bijection d'un espace affine de dim fini(>1) qui concerve l'alignement est forcément affine ?

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:25

Je ne saurais te dire, ne me souvenant plus trop d aucune des 2 preuves XD

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 23:39

Si y'en a qui veullent chercher, l'énoncé exact est :

Montrer qu'une bijection d'un espace affine (sur R) de dim fini(>1) sur lui même qui concerve l'alignement est forcément affine.

C'est super long... (et il faut TOUTES les hypothéses : sur R, dim finie >=2)

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:55

Bon,bah voila, 2 beaux exos sur un topic qui n a rien a voir lol

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