Isométrie

[Kruslen]

Bonjour,

Je souhaiterais poser une question concernant les isométries...

Si on considère un espace préhilbertien H, sa norme associée et une application vérifiant f(0)=0 et :


Ma question est la suivante : est-ce que la fonction définie par est la seule solution ?
J'ai l'impression que oui, mais je ne arrive pas à le prouver... J'ai seulement le fait que pour tout réel x, mais c'est tout

Merci pour votre aide,

Kruslen

[Ben314]

Salut,
Si on prend par exemple x>1, le fait que
||f(1)-f(0)||+||f(x)-f(1)||=1+(x-1)=x=||f(x)-f(0)||
prouve que le point f(1) est situe sur le segment [f(0),f(x)] (propriete classique des prehilbetiens)
Donc f(x)=lambda.f(1) avec lambda>1 et, vu que ||f(x)||=x, c'est que lambda=x.
Meme raisonnement si 0<x<1 et si x<0.