Isométrie

[zork]

rebonsoir

Si je note G les isométries positives du cube.
Comment montrez vous que ?

En gros je cherche à montrer que le morphisme de groupe est bijectif.

Pour la surjectivité j'ai fais ceci:
est engendré par les transpositions. En prenant la rotation par rapport à une droites passant par les milieux de deux côtés diagonalement opposés d'angle pi j'ai ce que je veux

Pour l'injectivité, je dois montrer que f(g)=id
Autrement dit g fixe les 4 grandes diagonales du cube donc g=id convient mais comment justifier que ce ne peut pas être autre chose?

[jlb]

salut, pourquoi veux - tu montrer impérativement l'injectivité? ton morphisme est surjectif à valeurs dans S4 d'ordre fini!! (utilise le th du rang)( d'ailleurs, tu peux utiliser (1,2) et (1,2,3,4) comme générateurs de S4, c'est plus rapide que de lister toutes les transpositions)

[jlb]

la surjectivité est suffisante, non? (+ th du rang, cela donne l'injectivité)
sinon, tout est dans l'interprétation de "diagonale", en la définissant comme un couple de sommet, cela doit rendre les choses plus faciles.

à confirmer, comme d'habitude.

[mathelot]

Comme l'enveloppe convexe du cube (plongé dans R3) est compacte
sup points du cube est , de fait, un max qui
est atteint uniquement pour les grandes diagonales, soit quatre possibilités

[paquito]

Tu peux faire ça géométriquement; le groupe des rotations laissant le cube invariant est connu, tu as bien les 6 rotations d'angle qui sont d'ordre 2, tu as aussi les rotations d'angle dont les axes sont les droites joignent les centres de 2 faces opposées, ce qui te donne 3 éléments d'ordre 2 mais de la forme r^2 et 6 éléments d'ordre 4; en fin il reste les rotations d'angles dont les axes sont les 4 diagonales principales et qui sont des éléments d'ordre 3;

au final, ton groupe comporte 6+3 élément d'ordre 2, 8 éléments d'ordre 3, 6 éléments d'ordre 4 ce qui fait en ajoutant Id: 24 éléments.

[paquito]

Géométriquement, tu as 6 demi tours dont les axes sont les droites passant par les milieux d'arêtes opposés ce qui fait 6 éléments d'ordre 2; tu as aussi les rotations dont les axes sont les centres de deux faces opposées, il y en a 6 d'ordre 4 plus 3 demi tour d'ordre 2, enfin, tu as les rotations d'angles
dont les axes sont les diagonales principales, ce qui te donne 8 éléments d'ordre 3.

En tout, avec l'id, tu retrouve 6+6+3+8+1 =24 éléments; on retrouve bien les 6 transpositions, les 3 doubles transpositions, les huit éléments d'ordre 3; mais les 6 éléments d'ordre 4 me gênent.

sinon, si on considère une face (ABCD), elle est transformée en une des six faces et a quatre positions possibles (6x4=24), peut on coder les déplacements par exemple une de tes transpositions donne(ABCD)->(DAEH); sinon composer des rotations dans l'espace!!!!

ou bien, si tu considère tes 6 rotations de base:
te donnent 5 nouvelles rotations,
.............

...........................................


Cela fait 30 rotations qui ont été comptées en double 15 fois sauf les 3 autres demi tours ce qui donne ; ça devrait se rapprocher de la solution.

En fait, j'ai beau tourner le problème dans tous les sens, il me manque toujours quelque chose:

l'ensemble engendre un sous-groupe d'au plus 37 éléments; si on avais, on aurait , donc on ne pourras jamais arriver à 24; de plus dans il y a 4 éléments d'ordre 4, pas 6; enfin je n'ai jamais entendu dire que le groupe des déplacements laissant un cube invariant était isomorphe à .

C'est faux!