Isométrie

[zork]

Bonjour,

j'aimerai montrer la propriété suivante:

Soit (X,d) un espace métrique
(X,d) est isométrique à un sous-ensemble d'un espace vectoriel normé

voici le début:
Soit Y={f:X-->R bornée} muni de la norme
j'ai montré que Y muni de cette norme est un espace vectoriel normé
J'ai pris g:X-->Y tel que g(x)=

A présent, j'essaye de montrer que g(x) est une isométrie
soit y dans X
d(g(x),g(y))= mais comment parvenir à d(g(x),g(y))=d(x,y)?


merci

[Doraki]

C'est quoi gx ?

[zork]

est une application quelconque de X dans R

[Doraki]

Tu veux montrer que quelque soit d et quelquesoit gx, gx est une isométrie ???

[zork]

en faite c'est tout ce que j'ai eu comme idée pourrie
je peux prend quoi comme g alors?

[Doraki]

Ben ça serait ptetre pas complètement crétin d'essayer de prendre un gx qui prend d en compte.
g c'est une fonction de X dans Y, c'est à dire une fonction de X*X dans R.
d c'est une fonction de X*X dans R.

Le premier truc qui doit te venir à l'esprit c'est de prendre gx(y) = d(x,y)

[zork]

du coup là je regarde:

mais là j'avance plus et de plus ma norme ne sert à rien?

[Doraki]

Mais qu'est-ce que tu racontes.
d(g(x),g(z)) ça ne veut rien dire parceque g(x) et g(z) (si tu penses à gx et gy) sont dans Y alors que d est une distance sur X.
|x-z| ça ne veut rien dire parceque x,y,et z sont dans X et pas dans R.
Ta première expression à gauche elle dépend de x et de z, et après ta première égalité elle dépend aussi de y ???

Pour montrer que c'est une isométrie tu dois montrer que pour tout x et y de X, d(x,y) = ||gx-gy|| (la norme infinie de gx-gy). (définition de isométrie de (X,d) dans (Y,norme infinie))
Or, || gx - gy ||
= sup {|gx(z) - gy(z)|, pour z dans X} (définition de la norme infinie)
= sup {|d(x,z)-d(y,z)|, pour z dans X} (définition de gx et de gy)
Jusqu'ici c'est juste recopier les définitions correctement.

Pour montrer que ça fait d(x,y) il faut montrer que d(x,y) est un majorant de {|d(x,z)-d(y,z)|, pour z dans X}, et que c'est le plus petit.

Donc on doit montrer que pour tout x,y,z, |d(x,y) - d(y,z)| <= d(x,y). Je te laisse réfléchir avec l'inégalité triangulaire.

Pour montrer que d(x,y) est le plus petit majorant, il suffit de trouver un z dans X tel que |d(x,z)-d(y,z)| = d(x,y), ce qui n'est pas très difficile.

[zork]

ok c'est bon pour l'isométrie

mais ensuite on me demande si g(X) peut-être un sous espace vectoriel de Y

à mon avis la réponse est oui si g est continue mais est que c'est toujours vrai?

[Doraki]

ok c'est bon pour l'isométrie

sauf que, si X n'est pas borné, le g que je t'ai donné n'est pas une fonction de X dans Y puisque aucun gx ne sera une fonction bornée de X dans R. Mais y'a moyen de corriger le problème assez simplement.

on me demande si g(X) peut-être un sous espace vectoriel de Y

Ben ça dépend complètement de (X,d)

[zork]

pour l'isométrie:
le g que j'ai définit dans mon premier message était fourni dans l'indication pour la démo

Pour le sous espace vectoriel:
pourquoi est ce que ca dépend complètement de (X,d)? je pensai qu'il fallait une continuité de g?

[Doraki]

pour l'isométrie:
le g que j'ai définit dans mon premier message était fourni dans l'indication pour la démo

tu n'as rien défini du tout dans ton premier message.

g est forcément continue puisque c'est une isométrie.

Je disais juste qu'il y a certains espaces (X,d) pour lesquels il existe une isométrie g : X -> Y tel que g(X) soit un sev de Y, et d'autres espaces pour lesquels il n'y en a pas.

[zork]

ok merci je vais regarder tout ca