IPP généralisée

[AceVentura]

Bonjour.
Je cherche un exemple d'application simple de l'intégration par parties généralisées :

.

En avez-vous a me proposez ?
Merci !

[Doraki]

Je te propose de calculer l'intégrale de 0 à l'infini de (e^-t)*(t^100) dt

[AceVentura]

Bonjour Doraki. En fait, a et b ont pour vocation d'être dans . On se limite à cela :/

[Doraki]

Bah dans ce cas tu peux regarder la limite quand b tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à b de (e^-t) * (t^100) dt.

[AceVentura]

Donc en fait, je calcul l'intégral et le passage à la limite, c'est la fonction gamma !

Il me semble que par récurrence, on prouve que cela fait n!.

Donc dans la première intégrale j'ai pris , , et .

Alors la dernière intégrale donne .

Et la grosse somme donne .

Au finale, je trouve . Et je suis pas super convaincu :/

[Doraki]

Alors déjà j'ai mis exprès e^-t à gauche de t^n pour que tu prennes f^n(t) = e^-t et g(t) = t^n.

Mais bon si tu veux faire l'inverse, soit.
Si g(t) = e^-t, alors g^n(t) = (-1)^n e^-t, je suis d'accord.
Par contre faut que tu m'expliques comment tu trouves que si f^n(t) = t^n, alors f(t) = 1 en est une primitive à l'ordre n.
parceque chez moi, la dérivée n-ième de la fonction f(t) = 1, ça donne f^n(t) = 0, et pas f^n(t) = t^n.

[AceVentura]

C'est non ?

[AceVentura]

Mais non ! C'est , non ?

[Doraki]

Une primitive à l'ordre n de t^n, c'est t^2n / (2n * (2n-1) * ... * (n+2) * (n+1)).

Mais au final tu te retrouves donc avec une intégrale de e^-t * t^2n, tu as complexifié le problème en allant dans le mauvais sens.

[AceVentura]

Ok ! Alors dans le "bon" sens :
et est-ce que ?

[miikou]

salut,

doraki > on peut prendre une serie convergent normalement vers l'integrande et conclure nest ce pas ?