Inversion d'une matrice de covariance

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fatal_error
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Inversion d'une matrice de covariance

par fatal_error » 30 Déc 2010, 16:36

Bonjour,

Comme toujours ma noubitude a frappé.
Donc jmodélise un probleme avec une loi normale multimensionnelle.
cad j'ai une matrice inverse de la matrice de covariance qui traine dans la formule de la loi.

J'appèle M la matrice de covariance
Le truc, c'est que M m'a pas l'air forcément inversible...

Ya til un moyen de contourner le probleme, ou alors comment faut-il interpréter le fait que M ne soit pas inversible?
S'agit-il d'un manque de variables aléatoires(??), d'un manque de valeurs pour chaque variable aléatoire, ou peut etre de trop de valeurs?
la vie est une fête :)



XENSECP
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par XENSECP » 30 Déc 2010, 16:44

Si tu traites des VAR, ta matrice de covariance est symétrique réelle donc diagonalisable... (ce qui ne veut pas dire qu'elle est inversible) mais c'est tout ce que je peux t'apporter a priori

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par fatal_error » 30 Déc 2010, 18:07

ok, j'ai overcome le truc avec un trick a deux balles.

En fait, dans un de mes descriptors, j'ai une liste de mesures donc genre le vecteur
(1 1 1 1)
qui est répété sur plusieurs tests.

Cqui fait que derrière, (entre chaque 1, ya une covariance qui a facheuse tendance à aller vers 0 :) ).
Du coup, j'ai encodé la liste de mesure sur un unique nombre (genre en base 2 to decimal)

On verra par la suite, mais je suis pas très convaincu que ce genre d'astuces puissent me prévenir d'autres problèmes de non inversions.
la vie est une fête :)

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 03:53

re,

alors jai trouvé un truc un peu mieux :D
donc au lieu de prendre M, on prend N, avec
N = M+a*I
avec I la matrice identité, et a un nombre positif.
Du coup, si on calcule les valeurs propres de M, on a
det(M-lambaI)=0, pour tout lambda qui est une valeur propre.
Et pour calculer celles de N, on a
det(N-lamba_2I)=det(M+aI-lambda_2I)=0
qui implique que lambda_2 = lambda+a
du coup, on a le determinant de N qui vaut

comme la matrice M est semi positive, on est assuré que toutes les valeurs propres lambda sont positives (ou nulles grr), et du coup, avec un ptit offset avec a, ca devrait nous éviter le 0!

apres jmesure pas trop lecart que ca engendre mais bon, on va dire que c'est good. . :marteau:
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par benekire2 » 01 Jan 2011, 04:06

Salut !

Je ne sais pas si ça a un rapport , mais je sais que c'est pas dur de montrer que pour une matrice A donnée (pas forcément inversible) et pour B€GLn(K) , il existe x€K , B+xA €GLn(K) ce qui "rend" ta matrice inversible.

Mais bon, je sais pas si ça va servir dans ton exo ... ( de toute façon, je doute que tu ignorais le résultat que je viens de citer...)


Bonne année quand même !!

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 04:23

ah non jl'ignorais...jusqu'à ya quelques minutes...
mais bon, jvais me contenter de A = I :we: (c'est plus sexy en plus de pénaliser que les variances)

et sinon, bonne année :D
pis comme je craque, 36 ma life, now faut que jnormalise les valeurs des données en entrées histoire de pas trop pénaliser certaines composantes ~~.

Décidément, on enrobe bien la chose en math!
bien velue cette analyse multidimensionnelle...
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par benekire2 » 01 Jan 2011, 04:33

Bonne chance ^^

PS. Remplace mes K par des R puisque la preuve ( enfin celle que j'ai) ne marche a priori que pour R comme corps de base ... :lol3:

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 04:54

jcrois que ca merde parce que pour A donnée que jpose nulle,
et en paramètre B qui est nul, ben qqsoit x, A+xB est nulle, et donc à priori non inversible.

De la même manière, si tu prend A grossièrement liée (genre les deux dernières colonnes des zéros), et B ou les deux dernières sont liées (que des 1 mettons), alors qqsoit x, ben le tout restera lié...


EDIT: OK GL_n. Je découvre.
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par benekire2 » 01 Jan 2011, 05:11

Euh on la refait :

Tu prends ta matrice A ok, et B inversible ( GL_n(R) ) et bien B+xA sera même inversible pour x dans un intervalle centré sur 0 , mais faut le prendre suffisemment petit l'intervalle.

[tu as écrit A+xB qui change ... tout ]

Pour la preuve ... on voit ça plus tard dans la journée :zen: même s'il semble que:
x --> det(B+xA) ne s'annule pas en 0 et est continue sur R [fonction polynômiale] i.e non nulle sur un intervalle centré sur 0.

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 05:16

ok, allez, jtente soyons fou c'est le premier

alors
jecris le pol caractéristique de

si A+xB est non inversible, alors son det vaut 0 et donc (brrr) il a une valeur propre nulle.
On peut aussi écrire
et comme il existe un lambda_nI qui vaut 0, alors si le det vaut 0,

de fait

soit ce qui nest pas vrai pour tout x!
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par benekire2 » 01 Jan 2011, 05:19

décidément j'ai du prendre de mauvaises notations et t'embrouiller avec les B+xA . . . regarde ma démo, elle ne va pas ? :ptdr:

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 05:25

uiii. C'est plus immédiat XD

edit : en fait jme sers jamais du fait que B est inversible. pire encore je confonds des vecteurs et des scalaires :marteau:
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par benekire2 » 01 Jan 2011, 05:27

Après je suis pas super convaincu que l'heure soit à la réflexion :zen:

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par fatal_error » 01 Jan 2011, 05:28

oui, surtout que j'ai passé la journée à pisser du code :cry:

Mais bon, des math de temps en temps ca peut pas me faire de mal :marteau:

edit : bon allez pour pas marreter dans ma connerie et aller jusqu'au bout, à partir de

on peut écrire

avec
et
et il suffit d'avoir un x différent de -a/b

j'aurais bien aimé tester. Mais bon, pas de désillusion avant un film sinon il est pas savouré! on verra plus tard...
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par dibeteriou » 01 Jan 2011, 05:31

benekire2 a écrit:Euh on la refait :

Tu prends ta matrice A ok, et B inversible ( GL_n(R) ) et bien B+xA sera même inversible pour x dans un intervalle centré sur 0 , mais faut le prendre suffisemment petit l'intervalle.

[tu as écrit A+xB qui change ... tout ]

Pour la preuve ... on voit ça plus tard dans la journée :zen: même s'il semble que:
x --> det(B+xA) ne s'annule pas en 0 et est continue sur R [fonction polynômiale] i.e non nulle sur un intervalle centré sur 0.

Salut :)
Ta preuve marche dans C aussi, mais pas dans un corps quelconque (il faut une notion de "suffisamment petit" qui tienne la route).

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par benekire2 » 01 Jan 2011, 05:38

Salut dib ,

Bah j'avais la flemme de vérifier (à 4h j'ai la flemme de presque tout !) , mais si tu le dit ... c'est que sur un disque tout fonctionne aussi bien dans ce cas :ptdr:

Bonne année à toi :we:

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par dibeteriou » 01 Jan 2011, 06:07

Bonne année :)

 

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