Inverse de la matrice de Vandermonde
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Aspx
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par Aspx » 04 Juin 2008, 18:03
Bonjour !
Je cherche à déterminer l'inverse de la matrice de Vandermonde. Plus précisément je cherche
avec
(les
sont considérés distincts évidemment).
Pour cela j'ai pensé, en ayant en tête la valeur du déterminant, à la formule :
} ^t com(A))
(où
)
désigne la comatrice de A).
Le problème c'est qu'il me semble pas évident de calculer les déterminants "tronqués" de Vandermonde qui forment les cofacteurs... Il y a-t-il une méthode plus astucieuse ?
Merci d'avance!
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Nightmare
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par Nightmare » 04 Juin 2008, 20:43
Salut !
Je ne pense pas que l'inverse de la matrice de Vandermonde soit facilement trouvable...
Cependant une première piste : La matrice de Vandermonde est une matrice de passage : Elle permet de passer de la base canonique de Rn[X] à la base des polynômes interpolés ...
Ca peut peut être aider!
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Aspx
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par Aspx » 04 Juin 2008, 23:15
Merci pour le tuyau, en effet ça semble sympathique, je m'explique. Si on interpole les points
en respectivement
on va obtenir la première colonne de
.
Le polynôme d'interpolation de Lagrange des points considérés sera alors
=L_1(X)=\prod_{i \neq j} \frac{X-a_i}{a_j-a_i}=\underbrace{\frac{1}{\prod_{i \neq j} a_j-a_i}}_{{\Large \gamma}} (X^n-\sigma_1X^{n-1}+...+(-1)^n\sigma_n))
On obtient donc les coefficients de P sur la base canonique. Soit
^n\sigma_n \\<br />\vdots \\<br />-\gamma \sigma_1 \\<br />\gamma<br />\end{array}<br /><br />=<br />\begin{pmatrix}<br />1 \\<br />0 \\<br />\vdots \\<br />0<br />\end{array})
Soit en réecrivant
^n\sigma_n \\<br />\vdots \\<br />- \sigma_1 \\<br />1<br />\end{array}<br /><br />=<br />A^{-1}<br />\begin{pmatrix}<br />1 \\<br />0 \\<br />\vdots \\<br />0<br />\end{array}=)
première colonne de
. Ainsi de suite.
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barbu23
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par barbu23 » 30 Nov 2011, 18:16
Bonsoir :
Comment on fait brièvement pour trouver la deuxième colonne ? ( je suis un peu perdu là )
Merci d'avance. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 30 Nov 2011, 22:24
svp, un petit coup de main. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 10 Jan 2013, 23:34
Nightmare a écrit:Salut !
Je ne pense pas que l'inverse de la matrice de Vandermonde soit facilement trouvable...
Cependant une première piste : La matrice de Vandermonde est une matrice de passage : Elle permet de passer de la base canonique de Rn[X] à la base des polynômes interpolés ...
Ca peut peut être aider!
Bonsoir à tous, :happy3:
Svp, je n'ai pas saisi entièrement votre réponse :
La base canonique de
est
. Quelle est la base des polynômes interpolés ( Je ne comprends pas bien ce passage ) ?
Merci d'avance. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 07 Jan 2014, 19:44
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonnes, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
 = L_1(X) = \displaystyle \prod_{i \neq 1} \frac{X-a_i}{a_1-a_i}=\underbrace{\frac{1}{\prod_{i \neq 1} a_1-a_i}}_{{\Large \gamma}} (X^n-\sigma_1X^{n-1}+...+(-1)^n\sigma_n) $)
, et la seconde colonne est :
^n\sigma_n \\<br />\vdots \\<br />- \sigma_1 \\<br />1<br />\end{array}<br /> = A^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $)
?
Merci d'avance. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 07 Jan 2014, 19:57
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonnes, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
, et la seconde colonne est :
?
Merci d'avance. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 07 Jan 2014, 21:53
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonnes, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
, et la seconde colonne est :
?
Merci d'avance. :happy3:
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barbu23
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par barbu23 » 07 Jan 2014, 22:19
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonne, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
, et la seconde colonne est :
?
Merci d'avance. :happy3:
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par barbu23 » 07 Jan 2014, 22:40
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonne, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
, et la seconde colonne est :
?
Merci d'avance. :happy3:
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par barbu23 » 08 Jan 2014, 14:38
Bonsoir, :happy3:
Pour trouver la
- ème colonne, on interpole les points
en respectivement
? Dans, ce cas,
, et la seconde colonne est :
?
Merci d'avance. :happy3:
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