Inverse de matrice

par **capitaine nuggets** » 02 Oct 2012, 21:24

bonsoir, j'aimerais savoir si j'ai bien trouvé l'inverse de la matrice suivante :

.

Donc je pose :

.

Mais par contre, comment déterminer l'inverse de :

par **Nightmare** » 02 Oct 2012, 21:31

Hello,

inverser une matrice ce n'est rien d'autre que résoudre un système d'équation. Si la matrice est triangulaire, la résolution est immédiate.

par **capitaine nuggets** » 02 Oct 2012, 22:23

Nightmare a écrit:Hello,

inverser une matrice ce n'est rien d'autre que résoudre un système d'équation. Si la matrice est triangulaire, la résolution est immédiate.

Ben 'faut croire que pour moi, elle n'est pas si immédiate que ça.

Je vois pas du tout en quoi elle est immédiate...

par **Mathusalem** » 02 Oct 2012, 22:24

Commence par la dernière ligne

par **Nightmare** » 02 Oct 2012, 22:49

Notons

et un vecteur. Je note A ta matrice.

L'équation

d'inconnue X se traduit par le système d'équations

d'inconnues x1,...,xn

La dernière ligne fournit xn, l'avant dernière fournit alors x(n-1)=y(n-1)-2x(n)=y(n-1)-2y(n) etc.

Donc la dernière ligne de la matrice inverse sera (0,0,...,0,1), l'avant dernière sera (0,0,...,1,-2) etc.

:happy3:

par **capitaine nuggets** » 02 Oct 2012, 22:59

Nightmare a écrit:Notons et un vecteur. Je note A ta matrice.

L'équation d'inconnue X se traduit par le système d'équations d'inconnues x1,...,xn

La dernière ligne fournit xn, l'avant dernière fournit alors x(n-1)=y(n-1)-2x(n)=y(n-1)-2y(n) etc.

Donc la dernière ligne de la matrice inverse sera (0,0,...,0,1), l'avant dernière sera (0,0,...,1,-2) etc.

:happy3:

Oui, ça je viens d'y arriver mais c'est après que ça se gâte...
T'aurais pas une petite astuce pour ne pas se perdre dans les calculs ?

par **capitaine nuggets** » 02 Oct 2012, 23:08

J'arrive à ça :

par **wserdx** » 02 Oct 2012, 23:17

Tu pars dans le mauvais sens. Il faut partir de la dernière ligne et remonter vers le haut.
A chaque fois, il faut réinjecter les expressions trouvées plus bas dans la ligne courante (exprimer les

en fonction des

)

par **wserdx** » 02 Oct 2012, 23:34

Si tu veux une démonstration un peu plus "fun"
considère la matrice

nilpotente avec des 1 juste au-dessus de la diagonale et des 0 partout ailleurs.
Ta matrice vaut alors

avec la convention

Comme

, l'inverse recherché est

, c'est à dire des 1 sur la diagonale, -2 juste au-dessus et 1 encore au-dessus.

par **capitaine nuggets** » 07 Oct 2012, 20:40

wserdx a écrit:Tu pars dans le mauvais sens. Il faut partir de la dernière ligne et remonter vers le haut.
A chaque fois, il faut réinjecter les expressions trouvées plus bas dans la ligne courante (exprimer les en fonction des )

Oui je suis d'accord, mais plus je remonte, plus je suis submergé dans les calculs

par **wserdx** » 07 Oct 2012, 20:54

Ben désolé. Tu peux essayer de partir du résultat

, faire le produit et montrer qu'on obtient bien

. Ou alors démontrer le résultat par récurrence sur

.
Dans tous les cas il faut un peu de persévérance et de concentration.

par **capitaine nuggets** » 07 Oct 2012, 22:29

wserdx a écrit:Ben désolé. Tu peux essayer de partir du résultat , faire le produit et montrer qu'on obtient bien . Ou alors démontrer le résultat par récurrence sur .
Dans tous les cas il faut un peu de persévérance et de concentration.

J'ai pas bien compris comment on définis la matrice H (les éléments qui la compose et sa taille (nxn ?))
Je n'ai pas compris de plus, ton idée avec I-2H+H² et (Id-H)²...

par **wserdx** » 07 Oct 2012, 23:35

Oui H est d'ordre n, avec des 1 dans la sur-diagonale (c'est à dire la diagonale juste au-dessus de la diagonale principale) et des 0 partout ailleurs.
l'inverse que tu cherches est

c'est-à-dire des 1 sur la diagonale principale, des -2 sur la diagonale juste au dessus et des 1 sur la diagonale juste encore au-dessus, des 0 partout ailleurs.
(compare avec ce que tu as trouvé dans le cas n=4)

par **capitaine nuggets** » 07 Oct 2012, 23:43

tu me dis :

wserdx a écrit:l'inverse que tu cherches est c'est-à-dire des 1 sur la diagonale principale, des -2 sur la diagonale juste au dessus et des 1 sur la diagonale juste encore au-dessus, des 0 partout ailleurs.
(compare avec ce que tu as trouvé dans le cas n=4)

Mais comment en es-tu arrivé à ce résultat ?

par **wserdx** » 08 Oct 2012, 00:32

capitaine nugget a écrit:Mais comment en es-tu arrivé à ce résultat ?

En observant que la matrice que tu veux inverser vaut :

Inverse de matrice

Inverse de matrice

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