Inverse généralisée et pseudo inverse

[Dante0]

Bonsoir,

Si j'ai une matrice :



Comment je fais pour trouver l'inverse généralisée et la pseudo inverse ?

:++:

[Ben314]

Ce qui searit pas con, c'est déjà de donner la définition de "l'inverse généralisé" et de "la pseudo-inverse" (perso, j'ai jamais entendu parler de ces notions là...)

[Dante0]

Ce qui searit pas con, c'est déjà de donner la définition de "l'inverse généralisé" et de "la pseudo-inverse" (perso, j'ai jamais entendu parler de ces notions là...)

En effet, mes excuses.
On appelle inverse généralisée d'une matrice A toute matrice telle que


La pseudo inverse de notée est définie par :






Une telle inverse est unique (aussi appelée inverse de Moore-Penrose.

[wserdx]

Dans ce cas, je dirais que toute matrice (à coefficients dans un corps) de dimension pxq est équivalente à une certaine matrice
définie comme la matrice de dimension pxq dont les r premiers coefficients diagonaux valent 1.
La pseudo inverse de est trivialement
Pour ta matrice A, tu peux trouver P et Q inversibles (de dimensions respectives 3x3 et 2x2) telles que
.
Sa pseudo inverse sera alors

[Ben314]

On appelle inverse généralisée d'une matrice A toute matrice telle que

Comme A est de rang 2, elle est injective et dans ce cas, l'équation équivaut à et donc les "inverses généralisées" de A sont les inverses à gauche de A et tu peut les trouver en résolvant par exemple en résolvant le système (d'incinnues).
Il y a évidement une infinité de solutions.

De nouveau, équivaut à (car A est injective) et cela implique que et que (en supposant que le "prime" signifie la transposée).
Pour la dernière condition qui dit que doit être symétrique, je pense que le plus rapide est de prende pour la matrice "générique" (i.e. avec des paramètre) trouvée pour et de regarder quels doivent être les valeurs des paramètres pour que soit symétrique,

En procédant ainsi je pense (pas sûr...) que c'est plus rapide que de chercher les bases de et de permettant de "diagonaliser" A. Le mieux est sans doute... de faire les 2 méthodes...

[Ben314]

Sa pseudo inverse sera alors

Si le "prime" désigne effectivement la transposée, j'ai l'impression que ça ne marche pas ton truc... (il faudrait que P et Q soient orthogonales...)

[wserdx]

Ah ok! j'avais pas vu le coup de l'adjoint! à voir donc...

[wserdx]

Je n'étais pas trop loin de la réponse...
Voir : inverse de Moore-Penrose
et
décomposition en valeurs singulières

[Dante0]

Je me rends compte que ca dépasse un peu mes compétences. :triste:
Merci pour les réponses et les recherches. :++:

[wserdx]

Je me rends compte que ca dépasse un peu mes compétences. :triste:
Merci pour les réponses et les recherches. :++:

Un petit clin d'oeil :lol3: :ptdr:
google

[Dante0]

Un petit clin d'oeil :lol3: :ptdr:
google

C'est ce que j'ai essayé en premier
Mais sur wiki je tombe sur sur des trucs trop théoriques pour moi. :ptdr:

[wserdx]

Je ne sais pas pourquoi tu as posé la question, mais j'aurais appris quelque chose avec cette recherche. ça serait amusant d'essayer de faire effectivement le calcul, maintenant que tu sais faire.