Pseudo-solution d'un système

[Neeb]

Bonjour,

Je bloque sur un petit exo... voilà mon problème...

Une pseudo-solution de AX=B est une matrice X0 telle que ||AX0-B||=inf{ ||AX-B|| \ X matrice colonne}.

En supposant que AX=B n'a pas de solution.

Trouver une CNS sur A pour qu'il existe une seule pseudo-solution.
La je pense montrer que l'application associée à la matrice A doit etre injective.

Montrer l'équivalence entre ces 3 propositions :
- X0 est pseudo-solution
- Pour tout Y matrice colonne, (AY|AX0-B)=0
- tranpose(A).A.X0=tranpose(A).B

On travaille avec un produit scalaire (X|Y)=tranpose(X).Y

Je pense qu'il faut travailler avec la projection orthogonale de B sur {AX} mais c'est du ressenti que je n'arrive pas à exploiter...

Merci à ceux qui tenteront de m'aider

[JCardan]

Bon, certes cela date un peu, mais j'ai dû résoudre cet exercice aujourd'hui alors je mets la réponse, ca peut servir à d'autres :

En effet, Xo est pseudo solution si et ssi AXo est le projeté orthogonal de B sur Im(A) (immédiat grâce au théorème de meilleure approximation)
Partant, la caractérisation de ce projeté orthogonal est : AXo élément de Im(A) (évident) et AXo-B élément de l'orthogonal de Im(A), c'est-à-dire que pour tout X élément de E (ou tout autre espace euclidien/préhilbertien de référence) ( AX | AXo-B ) = 0. Voilà pour les deux premières équivalences.
La troisième vient de la deuxième : pour tout X de E, ( AX | AXo-B ) = 0 équivaut à pour tout X de E, transposée(AX).(AXo-B)=0 équivaut à pour tout X de E transposée(X)(t(A)AXo-t(A)B)=0. Il suffit d'envisager un cas où X n'est pas nul, alors transposée(X) est aussi non nul donc t(A)AXo-t(A)B=0 i.e. t(A)AXo=t(A)B. La réciproque est du même tonneau.

En espérant avoir aidé, n'hésitez pas à me corriger/parfaire ma rédaction :)