re ,
j'ai commencé à compiler la doc wiki sur le sujet qui nous occupe. La distance pseudo-hyperbolique est évoqué par walter Rudin dans "complex analysis",dans le cadre de l'analyse complexe et des produits de Blaschke. J'avais vû ça il y a une quarantaine d'années,c'est tout à fait étonnant d'avoir un modèle géométrique avec des points à l'infini dans un espace topologique, qui visuellement, semble d'adhérence compacte (le disque unité).
En fait, le disque de Poincaré n'est pas plan , est de courbure négative, et n'a pas grand-chose à voir avec un compact !!
Le cadre naturel des géodésiques (le plus court chemin d'un point à un autre)
semble être les variétés Riemanniennes (variétés=surfaces localement paramètrées par des coordonnées).
La métrique y est définie localement par un paramètrage d'une forme quadratique dans l'espace tangent. (l'espace tangent est vû, en chaque point M de la surface, comme un espace affine, dirigé par les vecteurs vitesses de toutes les courbes de la surface passant par M)
la distance infinitésimale entre deux points de la variété est donc définie
"extérieurement" à celle-ci à l'aide d'une forme quadratique sur l'espace tangent.
A ce propos, peux tu me valider la forme quadratique
)^2} \right))
????
qui semble donner, par extraction de racine carrée, l'élément de longueur (différentiel)
Dans un tel cadre, la longueur d'une courbe
serait donnée par
=\int_{0}^{1} \, \frac{2 |\gamma'(t)|}{1-|\gamma(t)|^2}dt)
???????
J'ai cherché à dériver les équations particulières des géodésiques
du disque des équations générales des géodésiques: connexions de Lévi-Civita et symboles de Christoffel.
On devrait pouvoir exprimer rapidement la longueur d'une géodésique par une intégrale
Il ne restera plus qu'à inverser cette fonction, continue, croissante, de la variable b.
par Nightmare » 08 Juin 2009, 15:50dite "pseudo-hyperbolique".
